pole trojkata

[puxux]

Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt podzielił bok leżący naprzeciw kąta \(120^\circ\) na odcinki długości \(2\) i \(3\). Oblicz pole tego trójkąta

[eresh]

Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt podzielił bok leżący naprzeciw kąta \(120^\circ\) na odcinki długości \(2\) i \(3\). Oblicz pole tego trójkąta

ABC- dany trójkąt
D,E,F- punkty styczności okręgu z bokami AC,AB,BC

\(|AD|=|AE|=2\\
|EB|=|BF|=3\\
|DC|=|CB|=x\)

\(\tg\angle DCS=\tg 60^{\circ}=\frac{r}{x}\\
x\sqrt{3}=r\)

\(\frac{1}{2}(2+x)(3+x)\sin 120^{\circ}=P_{ABS}+P_{BSC}+P_{ACS}\\
\frac{\sqrt{3}}{4}(6+5x+x^2)=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot r+\frac{1}{2}(x+3)r+\frac{1}{2}(2+x)r\\
\frac{\sqrt{3}}{2}(6+5x+x^2)=5\sqrt{3}x+(x+3)\sqrt{3}x+(2+x)\sqrt{3}x\\
6+5x+x^2=10x+2x^2+6x+4x+2x^2\\
3x^2+15x-6=0\\
x=\frac{-5+\sqrt{33}}{2}
\)

\(P=\frac{1}{2}(2+x)(3+x)\sin 120^{\circ}\\
P=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{33}-1}{2}\cdot\frac{\sqrt{33}+1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\
P=2\sqrt{3}\)