W sześciokacie ABCDEF wpisanym w okrąg boki AB,CD i EF są równe

[matma12345]

W sześciokacie \(ABCDEF\) wpisanym w okrąg boki \(AB,\ CD\) i \(EF\) są równe, zaś przekątne \(AD,\ BE\) i \(CF\) przecinają się w jednym punkcie. Niech \(P\) będzie punktem przecięcia się przekątnych \(AD\) i \(CE\). Udowodnij, że \({|CP|\over |PE|} = \left({|AC|\over|CE|}\right)^2\)

[Jerry]

Próbując, jak zwykle, zrobić schludny rysunek zauważałem kolejno:

• trapezy równoramienne
• równe kąty wpisane
• istnienie obrotów własnych danego sześciokąta o kąt \(n\cdot 120^\circ\), gdzie \(n\in\zz_+\)
• środkową symetryczność sześciokąta

Ostatecznie, pozostając w nadziei poprawności, doszedłem do wniosku, że dany sześciokąt jest foremny (zapis formalny zostawiam Tobie)
Od tego momentu teza zadania jest oczywista, bo \(\begin{cases}|CP|=|PE|\\|AC|=|CE|\end{cases}\)

Pozdrawiam
PS. To zadanie z jakiegoś "konkursu" ?

[matma12345]

Próbując, jak zwykle, zrobić schludny rysunek zauważałem kolejno:

• trapezy równoramienne
• równe kąty wpisane
• istnienie obrotów własnych danego sześciokąta o kąt \(n\cdot 120^\circ\), gdzie \(n\in\zz_+\)
• środkową symetryczność sześciokąta

Ostatecznie, pozostając w nadziei poprawności, doszedłem do wniosku, że dany sześciokąt jest foremny (zapis formalny zostawiam Tobie)
Od tego momentu teza zadania jest oczywista, bo \(\begin{cases}|CP|=|PE|\\|AC|=|CE|\end{cases}\)

Pozdrawiam
PS. To zadanie z jakiegoś "konkursu" ?

Tez mi wyszlo ze foremny, ale jednoczesnie udalo się anryswoać rysunek spełniający zadanie, gdzie nie jest to formeny.
Tak zadanie pochodzi z jakieś olimpiady matematycznej zagranicznej

[Jerry]

Załącz, proszę, ten rysunek...

Pozdrawiam