Czworokąt ABCD pole

[Solas]

W czworokącie \(ABCD\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty, zaś \(|\angle DAB|=30^\circ\). Bok \(|AB|=2 \sqrt{2}\), \(|BC|= \sqrt{3}\) oraz \(|CD|=4\). Wyznacz pole tego czworokąta. Bardzo proszę o pomoc

[Jerry]

Zrób schludny rysunek, niech \(\angle ADB=\delta,\ \angle ABD=\beta\)

• Z \(\Delta BCD\) i tw. Pitagorasa: \(|BD|=\sqrt{19}\)
• Z \(\Delta ABD\) i wzoru sinusów: \({\sqrt{19}\over{1\over2}}={2\sqrt2\over\sin\delta}\iff \sin\delta={\sqrt2\over\sqrt{19}}\)
• z jedynki : \(|\cos\delta|={\sqrt{17}\over\sqrt{19}}\)
• \(\sin\beta=\sin(180^\circ-30^\circ-\delta)=\sin(30^\circ+\delta)={1\over2}\cdot(\pm{\sqrt{17}\over\sqrt{19}})+{\sqrt3\over2}\cdot{\sqrt2\over\sqrt{19}}=\frac{\pm\sqrt{17}+\sqrt6}{2\sqrt{19}}\)
  Ponieważ \(\delta\) jest kątem trójkąta, to \(\sin\delta>0\), czyli \(\sin\delta=\frac{\sqrt{17}+\sqrt6}{2\sqrt{19}}\)
• \(S_{ABCD}={1\over2}\cdot2\sqrt2\color{red}{\cdot\sqrt{19}}\cdot\frac{\sqrt{17}+\sqrt6}{2\sqrt{19}}+{1\over2}\cdot\sqrt3\cdot4=\ldots\)

Pozdrawiam

[edited] po poniższym - poprawka (uzupełnienie braku)

[eresh]

W czworokącie \(ABCD\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty, zaś \(|\angle DAB|=30^\circ\). Bok \(|AB|=2 \sqrt{2}\), \(|BC|= \sqrt{3}\) oraz \(|CD|=4\). Wyznacz pole tego czworokąta. Bardzo proszę o pomoc

\(P_{BDC}=\frac{1}{2}|DC|\cdot|CB|\\
P_{BDC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{3}\\
P_{BDC}=2\sqrt{3}\)

\(|DC|^2+|AB|^2=|BD|^2\\
4^2+(\sqrt{3})^2=|DB|^2\\
16+3=|DB|^2\\
|DB|=\sqrt{19}\\\)

twierdzenie cosinusów w trójkącie DAB:
\(|BD|^2=|DA|^2+|AB|^2-2|DA||AB|\cos 30^{\circ}\\
19=|AD|^2+8-2\cdot |DA|\cdot 2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\
19=|AD|^2+8-2\sqrt{6}|AD|\\
|AD|^2-2\sqrt{6}|AD|-11=0\\
\Delta=68\\
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{17}\\
|AD|=\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{17}}{2}<0\\
|AD|=\frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{17}}{2}=\sqrt{6}+\sqrt{17}\)

\(P_{ADB}=\frac{1}{2}|AD||AB|\sin 30^{\circ}\\
P_{ADB}=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{6}+\sqrt{17})\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\\
P_{ADB}=\frac{1}{2}(\sqrt{12}+\sqrt{34})\\
P_{ADB}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{34}}{2}\)

\(P_{ABCD}=P_{ADB}+P_{BCD}\\
P_{ABCD}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{34}}{2}+2\sqrt{3}\\
P_{ABCD}=3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{34}}{2}\)