równoległobok - środek boku

[inter]

W równoległoboku\( ABCD\) punkt \(M\) jest środkiem boku \(\overline{AB}\), a \(S\) jest punktem na boku \(\overline{BC}\). Jeśli \(O= \overline{AS}\cap\overline{DM}\) i \(P_{ABCD} = 20P_{AOM}\), udowodnij, że punkt \(S\) jest środkiem boku \(\overline{BC}\).

[Jerry]

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku

gdzie \(\overline{S_1N_1}\parallel\overline{SN}\parallel\overline{DM},\ \overline{S_1B_1}\parallel\overline{BC}\). Niech \(|AB|=a>0,\ |SB|=k\cdot|BC|\), gdzie \(k\in(0;1)\). Wtedy

• \(\Delta B_1N_1S_1\equiv\Delta AMD\ (BKB)\So |B_1N_1|={a\over2}\)
• \(\Delta BNS\sim\Delta B_1N_1S_1\ (k,k)\So\begin{cases}|SP|=k\cdot H\\|BN|=k\cdot{a\over2}\end{cases}\)
• \(\Delta AMO\sim\Delta ANS\ (k,k)\So\left(\frac{h}{{a\over2}}=\frac{k\cdot H}{a+k\cdot{a\over2}}\iff h={k\over k+2}\cdot H\right)\)
• \(P_{\Delta AMO}={1\over2}\cdot{a\over2}\cdot{k\over k+2}\cdot H={k\over4(k+2)}\cdot P_{ABCD} \)
• Wobec \(P_{\Delta AMO}={1\over20}\cdot P_{ABCD} \) mamy
  \[{k\over4(k+2)}={1\over20}\iff k={1\over2}\]
  co jest równoważne tezie zadania.

Pozdrawiam