Dwusieczna w tójkącie i równość boków.

[Januszgolenia]

W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Na dwusiecznej kąta \(ACB\) zaznaczono punkt \(D\) w taki sposób, że \(|\angle DAB|=45^{\circ}\). Wykaż, że \(|AD|=|DB|\).

[eresh]

W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Na dwusiecznej kąta \(ACB\) zaznaczono punkt \(D\) w taki sposób, że \(|\angle DAB|=45^{\circ}\). Wykaż, że \(|AD|=|DB|\).

\(AB, CD\) - przekątne czworokąta
\(|\angle DCB|=|\angle BAD|=45^{\circ}\)
Przekątne tworzą z bokami kąty tej samej miary, zatem na czworokącie można opisać okrąg. Stąd \(|\angle ABD|=|\angle ACD|=45^{\circ} \) (kąty wpisane oparte na tym samym łuku).
W trójkącie ADB: \(|\angle DAB|=|\angle DBA|\), więc \(|AD|=|DB|\)

[Jerry]

Treść zadania jest niejednoznaczna, jeżeli \(|\angle CAB|>45^\circ\), to istnieją dwa punkty \(D\) spełniające założenia, a tylko jeden spełnia tezę - ten leżący w zewnętrzu \(\Delta ABC\)

Zrób schludny rysunek, niech \(Q\) będzie środkiem \(\overline{AB}\), czyli środkiem okręgu opisanego na \(\Delta ABC\), punkt \(E\) punktem wspólnym dwusiecznej \(\angle ACB\) z okręgiem opisanym na danym trójkącie. Wtedy, z 1. tw. geometrii koła, \(|\angle EQB|=2\cdot45^\circ=90^\circ,\ |\angle QBE|=|\angle QAE|=45^\circ\), zatem \(\Delta AEB\) jest równoramienny oraz \(E\equiv D\). Czyli teza zadania jest prawdziwa.

Pozdrawiam

[edited] pisałem z przerwami... Pozostawiam jako rozwiązanie alternatywne