Trapez i wpisany okrąg.

[Januszgolenia]

W trapezie \(ABCD, \overline{AB}\parallel \overline{DC}\), suma kątów \(BAD\) i \(CBA\) jest równa \(90^\circ\). W trapez wpisano okrąg o środku \(O\) i promieniu \(1\). Punkt styczności \(E\) tego okręgu z bokiem \(AB\) dzieli ten bok tak, że \(|AE|=2, |EB|=3\). Oblicz długości boków \(BC, DC, AD\).

[eresh]

W trapezie ABCD, ABIIDC, suma kątów BAD i CBA jest równa 90. W trapez wpisano okrąg o środku O i promieniu 1. Punkt styczności E tego okręgu z bokiem AB dzieli ten bok tak, że IAEI=2, IEBI=3. Oblicz długości boków BC, DC i AD.

F,G,H - punkt styczności okręgu z AD,DC,CB

\(|AF|=||AE|=2\\
|EB|=|BH|=3\\
|FD|=|DG|=x\\\
|GC|=|HC|=y\\
h=2r=2\\
\)
DI - wysokość trapezu
\(|EI|=x\\
|AI|=2-x\)

\((2-x)^2+2^2=(2+x)^2\\
4-4x+x^2+4-4-4x-x^2=0\\
-8x=-4\\
x=0,5\)

CJ - wysokość trapezu
trójkąty \(AID\) i \( CJB\) są podobne
\(\frac{|AI|}{|AD|}=\frac{|CJ|}{|BC|}\\
\frac{1,5}{2,5}=\frac{2}{|BC|}\\
|CB|=\frac{10}{3}\)

\(|BC|=\frac{10}{3}\\
|DC|=\frac{1}{3}+0,5\\
|AD|=2+0,5\)

[Jerry]

Albo:
Przedłużmy ramiona trapezu do punktu wspólnego \(N\). Wtedy

• \(\Delta ABN\) jest prostokątny, dany okrąg jest w niego wpisany, Zatem \(|AN|=3,\ |BN|=4\)
• Wysokość tego trójkąta jest równa \(h={12\over5}\)
• \(\Delta DCN\) jest do niego podobny i skala podobieństwa \(k={h-2\over h}={1\over6}\)
• \(\begin{cases}|DC|={1\over6}\cdot5\\|DN|={1\over6}\cdot3\So |AD|={5\over6}\cdot3\\|CN|={1\over6}\cdot4\So |BC|={5\over6}\cdot4\end{cases}\)

Pozdrawiam

[micmon]

Mam inną wersję tego zadania:

W trapezie ABCD,AB ∥DC, suma kątów BAD i CBA jest równa 90∘. W trapez wpisano okrąg o środku O i promieniu 1. Odcinek AB ma długość 5. Oblicz długości boków BC,DC,AD


Ktoś pomoże?

[Jerry]

Zauważ, że dany trapez jest odcięty z trójkąta o bokach \(3,\ 4,\ 5\) i dalej jak w wątku...

Pozdrawiam