Trójkąt, okrąg i czworokąt.

[Januszgolenia]

W trójkącie równoramiennym ABC dane są: IABI=12, IACI=IBCI=10. Na boku AC wybrano punkt D, a na boku BC punkt E w taki sposób, że odcinek DE jest prostopadły do boku BC i zawiera się w stycznej do okręgu wpisanego w trójkąt ABC, Oblicz długości boków AD i DE czworokąta ABED.

[eresh]

W trójkącie równoramiennym ABC dane są: IABI=12, IACI=IBCI=10. Na boku AC wybrano punkt D, a na boku BC punkt E w taki sposób, że odcinek DE jest prostopadły do boku BC i zawiera się w stycznej do okręgu wpisanego w trójkąt ABC, Oblicz długości boków AD i DE czworokąta ABED.

F - punkt styczności z AC
I - punkt styczności z BC
CH - wysokość trójkąta
G - punkt styczności okręgu z ED
O - środek okręgu


\(|CH|^2=10^2-6^2\\
|CH|=8\\
\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12=\frac{1}{2}(12+10+10)r\\
r=3\)

\(|AH|=|AF|=|HB|=|BI|=6\\
|FD|=|DG|=x\\
|GE|=|EI|=y\)

czworokąt \(GOEI\) jest kwadratem
\(|GE|=|EI|=|GO|=|OI|=r=3\)

\(|DE|^2+|CE|^2=|CD|^2\\
(x+3)^2+1^2=(4-x)^2\\
x^2+6x+9+1-16+8x-x^2=0\\
14x=6\\
x=\frac{3}{7}\\
|DE|=3\frac{3}{7}\\
|AD|=6\frac{3}{7}

\)