Okrąg opisany na czworokącie.

[Januszgolenia]

W czworokącie wypukłym ABCD dane są IABI=IBCI=\( \sqrt{3}\) oraz kąt ADC=60 i kąt DCA=45. Wiedząc, że na czworokącie można opisać okrąg, oblicz długości boków AD i DC.
Odp. IADI= \(\sqrt{6}\), IDCI= \(\frac{ \sqrt{6}+3 \sqrt{2} }{2}\).

[eresh]

W czworokącie wypukłym ABCD dane są IABI=IBCI=\( \sqrt{3}\) oraz kąt ADC=60 i kąt DCA=45. Wiedząc, że na czworokącie można opisać okrąg, oblicz długości boków AD i DC.
Odp. IADI= \(\sqrt{6}\), IDCI= \(\frac{ \sqrt{6}+3 \sqrt{2} }{2}\).

\(|\angle ABC|=120^{\circ}\\
|\angle DAB|=135^{\circ}\)

\(|AC|^2=|AB|^2+|CB|^2-2|AB||BC|\cos 120^{\circ}\\
|AC|=3\)

\(\frac{|AC|}{\sin 60^{\circ}}=\frac{|AD|}{\sin 45^{\circ}}\\\)
\(|DA|=\frac{3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
|AD|=\sqrt{6}\)

\(\frac{|AC|}{\sin 60^{\circ}}=\frac{|CD|}{\sin 75^{\circ}}\\
|DC|=\frac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\\
|DC|=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\)