okręgi styczne

[inter]

AB jest cięciwą okręgu o promieniu r, punkt M jest środkiem AB. Okrąg \(O_1\) o promieniu \(r_1\) jest styczny wewnętrznie do danego okręgu oraz do AB w punkcie M. Niech punkt \(P \in AB, P \neq A,B,M\). Okrąg \(O_3\) ma taki sam promień jak okrąg \(O_1\) i jest styczny do AB w P. Okręgi \(O_2\) i \(O_4 \)o promieniach \(r_2\) i \(r_3\) są styczne do AB i do okręgu \(O_3\) oraz okręgu o cięciwie AB. Wykaż ze \(r=r_1+r_2+r_3.\)

[Jerry]

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, dla dobrze określonych \(r,r_1,r_2,r_3\), z oczywistymi wnioskami:

Ze znanego faktu:

• \(|CP|=2\sqrt{r_2r_1}\)
• \( |PD|=2\sqrt{r_1r_3}\)

Wobec \(|MQ|=r-2r_1\) mamy:

• \(|KQ|=|r-2r_1-r_2|\)
• \(|LQ|=|r-2r_1-r_3|\)

Z tw. Pitagorasa:

• \(|Q_2K|=\sqrt{(r-r_2)^2-(r-2r_1-r_2)^2}=2\sqrt{r_1(r-r_1-r_2)}=|CM|\)
• \(|LQ_4|=\sqrt{(r-r_3)^2-(r-2r_1-r_3)^2}=2\sqrt{r_1(r-r_1-r_3)}=|MD|\)

Ponieważ \(|CM|+|MD|=|CP|+|PD|\), to
\[2\sqrt{r_1(r-r_1-r_2)}+2\sqrt{r_1(r-r_1-r_3)}=2\sqrt{r_2r_1}+2\sqrt{r_1r_3}\quad|:2\sqrt{r_1}\\
\sqrt{r-r_1-r_2}+\sqrt{r-r_1-r_3}=\sqrt{r_2}+\sqrt{r_3}\\
(\sqrt{r-r_1-r_2}-\sqrt{r_3})+(\sqrt{r-r_1-r_3}-\sqrt{r_2})=0\\
\frac{r-r_1-r_2-r_3}{\sqrt{r-r_1-r_2}+\sqrt{r_3}}+\frac{r-r_1-r_3-r_2}{\sqrt{r-r_1-r_3}+\sqrt{r_2}}=0\\
(r-r_1-r_2-r_3)\left(\frac{1}{\sqrt{r-r_1-r_2}+\sqrt{r_3}}+\frac{1}{\sqrt{r-r_1-r_3}+\sqrt{r_2}}\right)=0\\
r=r_1+r_2+r_3\\ \text{CKD}\]
Pozdrawiam