okręgi wpisane

[inter]

\(DCP\) jest trójkątem równobocznym wewnątrz kwadratu\( ABCD\) (rys). \(AP\) przecięcia bok BC w Q.
\(R \in CD\) tak że \(AQR\) jest trójkątem równobocznym. Wykaż że \(r_2=2r_1\), gdzie \(r_2\) promień okręgu wpisanego w trójkąt CTR, a \(r_1\) to promień okręgu wpisanego w trójkąt DSA.

[kerajs]

Jeśli DCP i AQR są równoboczne to P nie należy do prostej AQ

[Jerry]

Jeśli DCP i AQR są równoboczne to P nie należy do prostej AQ

Skąd ten wniosek

Pozdrawiam
PS. Jutro wrócę do wątku, jeśli nikt się nie odezwie... ale już widzę koszmarną trygonometrię

[kerajs]

Wniosek wynikł z moich błędnych obliczeń. Faktycznie, punkt P jest środkiem AQ.

[Jerry]

Zauważmy, na rysunku, miary kątów:

Niech \(|CR|=a>0\), wtedy

• \(|AR|=|QR|={a\over\cos45^\circ}\)
• \(|AD|=|AB|={a\cos15^\circ\over\cos45^\circ}\)

Zatem

• \(|CR|=r_2(\ctg30^\circ+\ctg22,5^\circ)=a\)
• \(|AD|=r_1(\ctg15^\circ+\ctg7,5^\circ)={a\cos15^\circ\over\cos45^\circ}\)

Stąd
\[{r_2\over r_1}=\frac{(\ctg15^\circ+\ctg7,5^\circ)\cos45^\circ}{(\ctg30^\circ+\ctg22,5^\circ)\cos15^\circ}
=\frac{\sin22,5^\circ}{\sin15^\circ\sin7,5^\circ}\cdot\frac{\sin30^\circ\sin22,5^\circ}{\sin52,5^\circ}\cdot\frac{\cos45^\circ}{\cos15^\circ}\]
Ponieważ

• \(\sin22,5^\circ=\sqrt{{1-\cos45^\circ\over2}}\)
• \( \sin15^\circ\cos15^\circ={1\over2}\sin30^\circ\)
• \(\sin52,5^\circ\sin7,5^\circ={1\over2}(\cos45^\circ-\cos60^\circ)\)

to, po mało skomplikowanych rachunkach,
\[{r_2\over r_1}=\ldots=2\\ \text{CKD}\]
Pozdrawiam
PS. Poszło gładziej, niż sobie wyobrażałem