Pytanie o geometrię na poziomie olimpijskim??

[DarrenBravo]

Cześć. Proszę pomóż mi.

Zadanie 2.27 (BAMO 2012/4). Mając na płaszczyźnie odcinek \(\overline{AB}\), wybierz na nim punkt \(M\) różny od \(A\) i \(B\). Dwa równoboczne trójkąty \(AMC\) i \(BMD\) w płaszczyźnie są skonstruowane po tej samej stronie odcinka \(\overline{AB}\). Okręgi opisane w dwóch trójkątach przecinają się w punkcie \(M\) i innym punkcie \(N\).

(a) Udowodnić, że \(AD\) i \(BC\) przechodzą przez punkt \(N\).

(b) Udowodnij, że bez względu na to, gdzie wybierzesz punkt \(M\) na odcinku \(\overline{AB}\), wszystkie proste \(MN\) przejdą przez jakiś stały punkt \(K\) na płaszczyźnie.

Z książki Geometria euklidesowa dla olimpiady matematycznej, strona 40

Potrzebuję pomocy z częścią (b). Nie rozumiem, jaki byłby punkt \(K\) dla danego zbioru punktów \(A,\ B\). Prawdopodobnie musimy użyć potęgi punktu.

[Jerry]

Z punktu (a) wynika, że \(|\angle ANB|=120^\circ\), zatem punkt \(N\) należy do łuku pewnego okręgu o środku \(S\) takiego, że miara \(|\angle ASB|=240^\circ\). W ten okrąg wpisany jest trójkąt równoboczny \(ABW\). Wystarczy zauważyć, że \(W\equiv K\)

Pozdrawiam