Pytanie o geometrię na poziomie olimpijskim??

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
DarrenBravo
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 16 paź 2021, 08:21
Płeć:

Pytanie o geometrię na poziomie olimpijskim??

Post autor: DarrenBravo » 16 paź 2021, 08:42

Cześć. Proszę pomóż mi.

Zadanie 2.27 (BAMO 2012/4). Mając na płaszczyźnie odcinek \(\overline{AB}\), wybierz na nim punkt \(M\) różny od \(A\) i \(B\). Dwa równoboczne trójkąty \(AMC\) i \(BMD\) w płaszczyźnie są skonstruowane po tej samej stronie odcinka \(\overline{AB}\). Okręgi opisane w dwóch trójkątach przecinają się w punkcie \(M\) i innym punkcie \(N\).

(a) Udowodnić, że \(AD\) i \(BC\) przechodzą przez punkt \(N\).

(b) Udowodnij, że bez względu na to, gdzie wybierzesz punkt \(M\) na odcinku \(\overline{AB}\), wszystkie proste \(MN\) przejdą przez jakiś stały punkt \(K\) na płaszczyźnie.

Z książki Geometria euklidesowa dla olimpiady matematycznej, strona 40

Potrzebuję pomocy z częścią (b). Nie rozumiem, jaki byłby punkt \(K\) dla danego zbioru punktów \(A,\ B\). Prawdopodobnie musimy użyć potęgi punktu.
Ostatnio zmieniony 16 paź 2021, 10:49 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1572
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 729 razy

Re: Pytanie o geometrię na poziomie olimpijskim??

Post autor: Jerry » 16 paź 2021, 11:08

Z punktu (a) wynika, że \(|\angle ANB|=120^\circ\), zatem punkt \(N\) należy do łuku pewnego okręgu o środku \(S\) takiego, że miara \(|\angle ASB|=240^\circ\). W ten okrąg wpisany jest trójkąt równoboczny \(ABW\). Wystarczy zauważyć, że \(W\equiv K\)

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 16 paź 2021, 15:07 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Post pisałem w niedoczasie, mylnie wnioskując
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .