Punkt wewnętrzny kwadratu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1564
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 724 razy

Punkt wewnętrzny kwadratu

Post autor: Jerry » 11 paź 2021, 13:40

Punkt \(P\) leży wewnątrz kwadratu \(ABCD\), przy czym \(|PA| : |PB| : |PC| = 1 : 2 : 3\). Znajdź miarę kąta \(APB\).
Rozwiązanie
Pokaż
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, z dokładnością do podobieństwa:
001.jpg
Z tw. Pitagorasa:
\( \begin{cases} (a-x)^2+y^2=9 \\ (a-y)^2+x^2=1\\ x^2+y^2=4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x={a^2-5\over2a}\\ y={a^2+3\over2a}\\ x^2+y^2=4 \end{cases}\Rightarrow (a^2-5)^2+(a^2+3)^2=16a^2\Rightarrow a^2=5+2\sqrt2\)
Pozostaje rozstrzygnięcie, z tw. Carnota dla \(\Delta ABP\)
\(5+2\sqrt2=1^2+2^2-2\cdot1\cdot2\cdot\cos\gamma\iff \cos\gamma=-{\sqrt2\over2}\So \gamma={3\pi\over4}\)

PS. Z powyższego rozwiązania wynika bezpośrednio pole danego kwadratu :idea:
Pozdrawiam
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .