Rozwiązanie
1) Przyjmijmy oznaczenia:
2) Z tw. o odcinku wspólnej stycznej do okręgów stycznych zewnętrznie:
-) \(|KN|=2\sqrt{4\cdot9}=12\)
-) \(2\sqrt{9r}+2\sqrt{4r}=12\iff r={36\over25}\)
-) \(|SM|=|LM|=|MN|={1\over2}\cdot|LM|={1\over2}\cdot2\sqrt{4\cdot{36\over25}}={12\over5}\)
3) \(\Delta PAK\sim\Delta QAN\ (k,k)\\ \quad {9\over12+|NA|}={4\over|NA|}\iff |NA|={48\over5}\)
4) \(\tg{\alpha\over2}={4\over{48\over5}}={5\over12}\So \cos\alpha={1-\tg^2{\alpha\over2}\over1+\tg^2{\alpha\over2}}={119\over169}\)
5) \(|CS|=|CN_1|=b-{48\over5}\), \(|AM|={48\over5}+{12\over5}=6\)
6) Z \(\Delta CAM\) i tw. Carnota
\(\left(b-{48\over5}+{12\over5}\right)^2=b^2+6^2-2b\cdot6\cdot{119\over169}\\ \quad b={2028\over55}\)
7) \(|CK_2|=|CK_1|=b-12-{48\over5}={168\over11}\)
8 ) Z \(\Delta CAB\) i tw Carnota
\(\left(z+{168\over11}\right)^2=\left({2028\over55}\right)^2+\left(z+{108\over5}\right)^2-2\cdot{2028\over55}\cdot\left(z+{108\over5}\right)\cdot{119\over169}\\ \quad z={5475601\over456300}\approx12\)
Odp. \( \begin{cases}a=z+{168\over11}\approx27,3\\ b\approx36,9\\ c=z+{108\over5}\approx33,6 \end{cases} \)
Rachunki do sprawdzenia, dokładne wartości można policzyć!
-) \(|KN|=2\sqrt{4\cdot9}=12\)
-) \(2\sqrt{9r}+2\sqrt{4r}=12\iff r={36\over25}\)
-) \(|SM|=|LM|=|MN|={1\over2}\cdot|LM|={1\over2}\cdot2\sqrt{4\cdot{36\over25}}={12\over5}\)
4) \(\tg{\alpha\over2}={4\over{48\over5}}={5\over12}\So \cos\alpha={1-\tg^2{\alpha\over2}\over1+\tg^2{\alpha\over2}}={119\over169}\)
5) \(|CS|=|CN_1|=b-{48\over5}\), \(|AM|={48\over5}+{12\over5}=6\)
6) Z \(\Delta CAM\) i tw. Carnota
\(\left(b-{48\over5}+{12\over5}\right)^2=b^2+6^2-2b\cdot6\cdot{119\over169}\\ \quad b={2028\over55}\)
7) \(|CK_2|=|CK_1|=b-12-{48\over5}={168\over11}\)
8 ) Z \(\Delta CAB\) i tw Carnota
\(\left(z+{168\over11}\right)^2=\left({2028\over55}\right)^2+\left(z+{108\over5}\right)^2-2\cdot{2028\over55}\cdot\left(z+{108\over5}\right)\cdot{119\over169}\\ \quad z={5475601\over456300}\approx12\)
Odp. \( \begin{cases}a=z+{168\over11}\approx27,3\\ b\approx36,9\\ c=z+{108\over5}\approx33,6 \end{cases} \)
Rachunki do sprawdzenia, dokładne wartości można policzyć!