Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia
Niech \({R\over r}=x>1+\sqrt3\)
-) \(4\gamma+60^\circ=180^\circ\So \gamma=30^\circ\)
-) \(|NP|=|KL|=r\sqrt3\)
-) \(WP|=R-r=r(x-1)\)
-) Z \(\Delta WPN'\ \Delta WMP\) i tw. Pitagorasa: \( \begin{cases}|WN|=r\sqrt{x^2-2x-2} \\ |WM|=r\sqrt{x^2-2x}\end{cases} \)
czyli
\( \begin{cases}\sin\alpha={\sqrt3\over x-1}\\ \cos\alpha={\sqrt{x^2-2x-2}\over x-1} \end{cases} \wedge \begin{cases}\sin\beta={1\over x-1}\\ \cos\beta={\sqrt{x^2-2x}\over x-1} \end{cases}\)
-) \(\cos(\alpha+\beta)=\cos45^\circ\)
Pozostaje rozwiązać równanie
\({\sqrt{x^2-2x-2}\over x-1}\cdot{\sqrt{x^2-2x}\over x-1}-{\sqrt3\over x-1}\cdot{1\over x-1}={\sqrt2\over2}\)
Odp. \(x=1+\sqrt{8+2\sqrt6}\)
-) \(4\gamma+60^\circ=180^\circ\So \gamma=30^\circ\)
-) \(|NP|=|KL|=r\sqrt3\)
-) \(WP|=R-r=r(x-1)\)
-) Z \(\Delta WPN'\ \Delta WMP\) i tw. Pitagorasa: \( \begin{cases}|WN|=r\sqrt{x^2-2x-2} \\ |WM|=r\sqrt{x^2-2x}\end{cases} \)
czyli
\( \begin{cases}\sin\alpha={\sqrt3\over x-1}\\ \cos\alpha={\sqrt{x^2-2x-2}\over x-1} \end{cases} \wedge \begin{cases}\sin\beta={1\over x-1}\\ \cos\beta={\sqrt{x^2-2x}\over x-1} \end{cases}\)
-) \(\cos(\alpha+\beta)=\cos45^\circ\)
Pozostaje rozwiązać równanie
\({\sqrt{x^2-2x-2}\over x-1}\cdot{\sqrt{x^2-2x}\over x-1}-{\sqrt3\over x-1}\cdot{1\over x-1}={\sqrt2\over2}\)
Odp. \(x=1+\sqrt{8+2\sqrt6}\)