pole trójkąta

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 140
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 11 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

pole trójkąta

Post autor: inter » 02 paź 2021, 10:33

Oblicz pole zielonego trójkąta.
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1572
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 729 razy

Re: pole trójkąta

Post autor: Jerry » 03 paź 2021, 17:45

Przyjmijmy oznaczenia:
001 (2).jpg
-) Z \(\Delta O_1NO_2,\ \Delta ONO_2\) i tw. Pitagorasa:
\((10+\sqrt{(20-r)^2-r^2})^2+r^2=(10+r)^2\\ r={80\over9},\ |ON|={20\over3}\)
-) Z tw. o odcinku wspólnej stycznej zewnętrznej okręgów stycznych zewnętrznie
\(|EF|=2\sqrt{10\cdot{80\over9}}={40\sqrt2\over3}\)
Pozostaje wyznaczyć wysokość... nie mam jednak pomysłu na elementarne rozwiązanie...

Wprowadźmy zatem układ współrzędnych tak, aby \(B(0,0),\ O(20,0)\).
Wtedy \(O_2\left({80\over3},{80\over9}\right)\).

Proste \(l,\ k\) o równania postaci \(ax-y+b=0\) są stycznymi do okręgów i
\( \begin{cases}\frac{|10a+b|}{\sqrt{a^2+1}}=10 \\ \frac{|{80\over3}a-{80\over9}+b|}{\sqrt{a^2+1}}={80\over9}\end{cases} \)
Z rozwiązanego układu wynika:
\(k:y={30-3\sqrt2\over56}x+{60\sqrt2-40\over7},\ l:y=-{15\over8}x+40\)

Proste te przecinają się w \(P\) spodku wysokości trójkąta \(EFD\). W układu wynika
\(P\left({960-160\sqrt2\over51},{80+100\sqrt2\over17}\right)\)

Prosta \(n\) zawierająca \(h\) ma równanie
\(n:y=-{56\over30-3\sqrt2}\cdot\left(x-{960-160\sqrt2\over51}\right)+{80+100\sqrt2\over17}\)
i przecina okrąg
\((x-20)^2+y^2=400\)
m.in. w punkcie \(D\)

Pozostaje rozwiązać układ z tych równań, wyznaczyć współrzędne \(D\), obliczyć \(h=|DP|\) oraz pole trójkąta, ale... cierpliwość mi się wyczerpała...

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia!
PPS. Skąd Ty bierzesz te zadania :?:
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .