Pozycja punktu na wieloboku wpisanym w okrąg.

[qilpesen9]

Dzień dobry. Ma to pomóc mi w geometrii do projektu gry wideo, nad którym pracuję.

Potrzebuję wzorów, aby znaleźć współrzędne x,y dla punktu na n-bocznym wielokącie foremnym wpisanym w okrąg, przy danym kącie a, promieniu r i liczbie boków wielokąta.

Proszę zapytać, czy nie mówię jasno i dziękuję za jakąkolwiek pomoc lub wskazanie właściwego kierunku, który możesz mi dać

[grdv10]

Całkowite opracowanie sprawy znacznie wykracza poza wolontriacką pomoc na forum. Tak więc podsunę tylko pomysł. Pomysł na pierwszy bok wielokąta, bo resztę to sobie obrócisz.

Powiedzmy, że środek \(n\)-kąta to \((0,0)\), a wierzchołki pierwszego boku to \((r,0)\) oraz \(\left(r\cos\dfrac{2\pi}{n},r\sin\dfrac{2\pi}{n}\right).\) Piszesz równanie tego boku. I teraz masz kąt \(0\leqslant\alpha\leqslant \dfrac{2\pi}{n}\). Punkt \((x,y)\) leży na prostej \(y=x\tg\alpha.\) I bierzesz układ równań.

Opisaliśmy pierwszy bok. No to teraz drugi bok - obracamy całą sprawę o kąt \(\dfrac{2\pi}{n}.\) Wzory na obrót punktu znajdziesz wszędzie. Chyba nie muszę już mówić, co z trzecim bokiem.

Bardzo pomocna będzie tu wiedza o zespolonych pierwiastkach z jedynki. Bo one to leżą na wierzchołkach \(n\)-kąta foremnego.