trójkąt równoboczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: trójkąt równoboczny
Zmieniam oznaczenia na bardziej standardowe. Jedno z założeń przyjmuje postać:
\( \alpha + \beta + \gamma = \pi \)
natomiast równość wygląda następująco:
\( (1) \ (\sin ( \beta) + \sin (\gamma))^2 = \cos (2 \alpha) + \frac{7}{2} \)
Prawa strona \( (1) \) może zostać łatwo zapisana jako:
\( \frac{5}{2} + 2 \cos ^2 (\alpha) \)
Natomiast lewą stronę \((1)\) wobec poniższych tożsamości:
\( (*) \ \sin (\beta) + \sin(\gamma) = 2 \sin( \frac{\beta + \gamma}{2}) \cos ( \frac{\beta - \gamma}{2} ) \\ (**) \ \cos ^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \)
przekształcamy na
\( (1 + \cos(\alpha))(1 + \cos(\beta - \gamma)) \)
Dzieląc stronami przez \((1 + \cos(\alpha)) \neq 0 \) dostajemy równość:
\( (2) \ \ 1 + \cos(\beta - \gamma) = \frac{\frac{5}{2} + 2\cos ^2(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \)
Funkcja \( f(x) = \frac{\frac{5}{2} + 2x^2}{1 + x} \) określona na zbiorze \( x \in (-1 , 1) \) osiąga minimum równe \( 2 \) dla \( x = \frac{1}{2} \). To
oznacza, że prawa strona \((2)\) przyjmuje wartości większe bądź równe od 2. Natomiast lewa strona równości \((2)\) przyjmuje wartości mniejsze bądź równe od 2. Z tego wynika, że jedyną sytuacją gdy równość może zajść jest:
\( 1 + \cos(\beta - \gamma) = 2 \wedge \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \So \alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3} \).
Twierdzenie pozostaje prawidze również w drugą stronę, więc implikację w treści zadania można zamienić na równoważność.
\( \alpha + \beta + \gamma = \pi \)
natomiast równość wygląda następująco:
\( (1) \ (\sin ( \beta) + \sin (\gamma))^2 = \cos (2 \alpha) + \frac{7}{2} \)
Prawa strona \( (1) \) może zostać łatwo zapisana jako:
\( \frac{5}{2} + 2 \cos ^2 (\alpha) \)
Natomiast lewą stronę \((1)\) wobec poniższych tożsamości:
\( (*) \ \sin (\beta) + \sin(\gamma) = 2 \sin( \frac{\beta + \gamma}{2}) \cos ( \frac{\beta - \gamma}{2} ) \\ (**) \ \cos ^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \)
przekształcamy na
\( (1 + \cos(\alpha))(1 + \cos(\beta - \gamma)) \)
Dzieląc stronami przez \((1 + \cos(\alpha)) \neq 0 \) dostajemy równość:
\( (2) \ \ 1 + \cos(\beta - \gamma) = \frac{\frac{5}{2} + 2\cos ^2(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \)
Funkcja \( f(x) = \frac{\frac{5}{2} + 2x^2}{1 + x} \) określona na zbiorze \( x \in (-1 , 1) \) osiąga minimum równe \( 2 \) dla \( x = \frac{1}{2} \). To
oznacza, że prawa strona \((2)\) przyjmuje wartości większe bądź równe od 2. Natomiast lewa strona równości \((2)\) przyjmuje wartości mniejsze bądź równe od 2. Z tego wynika, że jedyną sytuacją gdy równość może zajść jest:
\( 1 + \cos(\beta - \gamma) = 2 \wedge \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \So \alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3} \).
Twierdzenie pozostaje prawidze również w drugą stronę, więc implikację w treści zadania można zamienić na równoważność.