trojkat

[puxux]

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\)wybrano punkty – odpowiednio –\(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|\) = \(|AE|\)= \(\frac{1}{3}|𝐴𝐵|\). Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\)

07XedLF.png (10.36 KiB) Przejrzano 1199 razy

Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\)jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\).

[Jerry]

To też z dzisiaj...
Poprowadź równolegle do \(\overline{DC}\) jeszcze siedem prostych, dzielących ostatecznie \(\overline{AB}\) na dziewięć równych części i... wykaż się spostrzegawczością oraz znajomością tw. Talesa:
Wysokość \(\Delta DBP\) jest równa \({3\over7}\) wysokości \(\Delta ABE\), a ona jest \({1\over3}\) wysokości \(\Delta ABC\)
Ostatecznie
\(P_{\Delta DBP}={1\over2}\cdot{1\over3}a\cdot{3\over7}\cdot{1\over3}\cdot h={1\over21}\cdot{1\over2}ah\)
co jest równoważne tezie

Pozdrawiam

[Jerry]

Albo, i to zachodzi dla dowolnego trójkąta,:
Przyjmijmy oznaczenia, \(x,y>0\) są polami trójkątów

Jeżeli \(S=S_{\Delta ABC}\), to wobec stosunków podstaw, zachodzi
\( \begin{cases}3x+y={1\over3}S\qquad|\cdot9\\
2x+3y={2\over3}S\qquad|\cdot(-3) \end{cases} \)
\(+\underline{ \begin{cases}27x+9y=3S\\-6x-9y=-2S \end{cases} }\\ 21x=S\\ CKD\)

Pozdrawiam