dowód, pole rombu

[___tetmajer]

Romb \(ABCD \) ma bok długości \(k\). Punkt \(E\) leży na boku\( AB \) rombu i dzieli go tak, że \(\frac{|AE|}{|EB|}=\frac{2}{3}\). Odległość punktu \(E \) od przekątnej \(AC \) jest 3 razy mniejsza od odległości punktu \(E \) od przekątnej \(BD \) (zakładamy, że \(|AC|>|BD|\)). Wykaż, że pole rombu wynosi: \(P=\frac{4}{5}k^2\)

[eresh]

\(|AE|=2x\\
|EB|=3x\\
2x+3x=k\\
x=\frac{1}{5}k\)

\(|FE|=|GS|=y\\
|EG|=|FS|=3y\)

\(|AF|=u\\
|BG|=w\)

trójkąty\( AFE,EGB,ASB\) są podobne

\(\frac{w}{3x}=\frac{y}{2x}\\
2w=3y\\
w=1,5y\)

\(\frac{3x}{3y}=\frac{2x}{u}\\
u=2y
\)

\(P=\frac{1}{2}|AC||BD|\\
P=\frac{1}{2}\cdot 2|AS|\cdot 2|SB|\\
|AS|=u+3y=5y\\
|SB|=y+w\\
|SB|=2,5y\\
P=2\cdot 5y\cdot 2,5y\\
P=25y^2\\\)


\(y^2+u^2=(2x)^2\\
y^2+4y^2=4x^2\\
y^2=\frac{4}{5}x^2=\frac{4}{5}(\frac{1}{5}k)^2=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{25}k^2\)

\(P=25\cdot\frac{4}{125}k^2=\frac{4}{5}k^2\)

[Jerry]

Albo, przyjmując oznaczenia rysunku eresh:
Niech \(|FE|=x,\ |AF|=y,\ |\angle DAB|=\alpha\). Wtedy
1) \(|EG|=3x\)
2) \(\Delta AEF\sim\Delta EBG\ (k,k)\So {y\over3x}={2\over3}\)
3) Z prostokątnego \(\Delta AEF\ :\ \tg{\alpha\over2}={x\over y}={1\over2}\)
4) \(\sin\alpha=\frac{2\cdot{1\over2}}{1+({1\over2})^2}={4\over5}\)
5) \(S_{ABCD}=k^2\cdot{4\over5}\)

Pozdrawiam