Oblicz cosinus kąta ostrego rombu.

[Januszgolenia]

Dany jest romb ABCD. Przez wierzchołki B i D poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki CD i AB - odpowiednio - w punktach M i N, tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury AND, NBMD, BCM o równych polach. Ponadto wiadomo, że IMBI=INDI=IBDI. Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

[radagast]

pole trójkąta AMD jest trzecią częścią pola rombu . Zatem
\( \frac{1}{2}at \sin \alpha =\frac{1}{3}a^2 \sin \alpha \)
stąd
\(t= \frac{2}{3} a\)
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta AMD
\(x^2 =a^2+ \frac{4}{9}a^2 - \frac{4}{3} a^2\cos \alpha \)
Po wyznaczeniu cosinusa:
\(\cos \alpha = \frac{13}{12} - \frac{3}{4}( \frac{x}{a})^2 =(*) \)
ale \(\frac{x}{2a}=\sin \frac{ \alpha }{2} \)
czyli \((\frac{x}{\color{red}{a}})^2=4\sin^2 \frac{ \alpha }{2} =2-2\cos \alpha \)
No to wracając do \((*)=\cos \alpha=\frac{13}{12} - \frac{3}{4}( \frac{x}{a})^2=\frac{13}{12} -\frac{3}{4}( 2-2\cos \alpha)=\cos \alpha
\)
Stąd, po rozwiązaniu równania \(\cos \alpha = \frac{5}{6} \)

[patrycjachojnicka]

Skąd bierze się trzecia linijka od końca?

[Jerry]

Skąd bierze się trzecia linijka od końca?

Po poprawce literówki - OK?

Pozdrawiam

[kowal13956]

Jak wyznaczyć to \(2-2\cos\alpha\) ?

[Jerry]

Jak wyznaczyć to 2-2cosa?

Ponieważ
\(\cos\alpha=\cos(2\cdot{\alpha\over2})=\cos^2{\alpha\over2}-\sin^2{\alpha\over2}=(1-\sin^2{\alpha\over2})-\sin^2{\alpha\over2}=1-2\sin^2{\alpha\over2}\)
to
\(2\sin^2{\alpha\over2}=1-\cos\alpha\qquad|\cdot2\\ 4\sin^2{\alpha\over2}=2-2\cos\alpha\)

Pozdrawiam

[radagast]

Jak wyznaczyć to \(2-2\cos\alpha\) ?

Nie ma powodu żeby to wyznaczać. Pytają o \(\cos \alpha \) więc zrobimy tak:

\(\frac{13}{12} -\frac{3}{4}( 2-2\cos \alpha)=\cos \alpha
\)

Stąd
\(\frac{13}{12} -\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos \alpha=\cos \alpha \)
\(\frac{13}{12} -\frac{18}{12}=\cos \alpha-\frac{3}{2}\cos \alpha \)
\( -\frac{5}{12}=-\frac{1}{2}\cos \alpha \)
\( \frac{5}{6}=\cos \alpha \)