Podzielność przez 16

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1608
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1680 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Podzielność przez 16

Post autor: Januszgolenia »

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie \(n^5-3n^4-n+3\) jest podzielne przez 16.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Podzielność przez 16

Post autor: eresh »

Januszgolenia pisze: 27 kwie 2021, 11:57 Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie \(n^5-3n^4-n+3\) jest podzielne przez 16.
\(n=2k+1\\
n^5-3n^4-n+3=n^4(n-3)-(n-3)=(n-3)(n^2+1)(n-1)(n+1)=\\ \qquad=(2k+1-3)(4k^2+4k+2)(2k+1-1)(2k+1+1)=\\ \qquad=2(k-1)2(2k^2+2k+1)2k\cdot 2(k+1)=16m
\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3458
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Podzielność przez 16

Post autor: Jerry »

Albo
\(w(n)=n^5-3n^4-n+3=n^4(n-3)-1(n-3)=(n-3)(n^4-1)=\\ \qquad=(n-3)(n-1)(n+1)(n^2+1)\)
i dla nieparzystego \(n\) każdy z czterech czynników jest parzysty

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ