Czworokąt opisany na okręgu.

[gr4vity]

Na okręgu opisano czworokąt \(ABCD\). Oblicz długość przekątnej \(DB \) wiedząc że: długośc boku \(AB \) wynosi \(2 \sqrt{2} \) oraz \( |\angle ADB|=15^ \circ \), a \(\sin\angle ABD= \frac{1}{7} \).
Bardzo prosiłbym wyjątkowo o pełne rozwiązanie.

[radagast]

Zastosuj twierdzenie sinusów dla trójkąta ABD

[radagast]

\( \frac{d}{\sin(175- \alpha )} = \frac{2 \sqrt{2} }{sin 15} \)
\( \frac{d}{\sin(180-(15+ \alpha ))} = \frac{2 \sqrt{2} }{\sin 15} \)
\( \frac{d}{\sin(15+ \alpha )} = \frac{2 \sqrt{2} }{\sin 15} \)
\( \frac{d}{\sin 15 \cos \alpha +\sin \alpha \cos 15 } = \frac{2 \sqrt{2} }{\sin 15} \)
\( \frac{d}{\sin 15 \cdot \frac{4 \sqrt{3} }{7} + \frac{1}{7} \cos 15 } = \frac{2 \sqrt{2} }{\sin 15} \)
\( \frac{7d}{\sin 15 \cdot 4 \sqrt{3} + \cos 15 } = \frac{2 \sqrt{2} }{\sin 15} \)
\(d = \frac{2 \sqrt{2}(\sin 15 \cdot 4 \sqrt{3} + \cos 15) }{7\sin 15} \)
\(d = \frac{8 \sqrt{6} \sin 15 +2 \sqrt{2}\cos 15 }{7\sin 15} \)

rachunki do sprawdzenia

[gr4vity]

\( \frac{2 \sqrt{2} }{sin15^ \circ } \)= \(\frac{|AD|}{ \sin \alpha }\)
\(sin15^ \circ=sin(45^ \circ-30^ \circ)=sin45^ \circ cos30^ \circ -cos45^ \circ sin30^ \circ= \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}-\frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}\)
\(|AD|= \frac{1}{7} \cdot \frac{2 \sqrt{2} \cdot 4 }{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }= \frac{8 \sqrt{2} }{7( \sqrt{6}- \sqrt{2}) }= \frac{8 \sqrt{2} \cdot ( \sqrt{6}+ \sqrt{2}) }{7 \cdot 4} \)=\( \frac{2 \sqrt{12}+4 }{7}= \frac{4 \sqrt{3}+4 }{7} \)
\(|AD|<|AB| \So \alpha \in (0^ \circ ,15^ \circ )\)
\(cos^2 \alpha=1-sin^2 \alpha \So cos^2\alpha= \frac{48}{49} \So (cos \alpha = \frac{4 \sqrt{3} }{7} \vee cos \alpha =- \frac{4 \sqrt{3} }{7}) \wedge \alpha \in (0,15^ \circ ) \So cos \alpha = \frac{4 \sqrt{3} }{7} \)
I teraz skorzystać z tw. cos w \(ABD\)? Można tak zrobić?

[eresh]

\( \frac{2 \sqrt{2} }{sin15^ \circ } \)= \(\frac{|AD|}{ \sin \alpha }\)
\(sin15^ \circ=sin(45^ \circ-30^ \circ)=sin45^ \circ cos30^ \circ -cos45^ \circ sin30^ \circ= \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}-\frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}\)
\(|AD|= \frac{1}{7} \cdot \frac{2 \sqrt{2} \cdot 4 }{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }= \frac{8 \sqrt{2} }{7( \sqrt{6}- \sqrt{2}) }= \frac{8 \sqrt{2} \cdot ( \sqrt{6}+ \sqrt{2}) }{7 \cdot 4} \)=\( \frac{2 \sqrt{12}+4 }{7}= \frac{4 \sqrt{3}+4 }{7} \)
\(|AD|<|AB| \So \alpha \in (0^ \circ ,15^ \circ )\)
\(cos^2 \alpha=1-sin^2 \alpha \So cos^2\alpha= \frac{48}{49} \So (cos \alpha = \frac{4 \sqrt{3} }{7} \vee cos \alpha =- \frac{4 \sqrt{3} }{7}) \wedge \alpha \in (0,15^ \circ ) \So cos \alpha = \frac{4 \sqrt{3} }{7} \)
I teraz skorzystać z tw. cos w \(ABD\)? Można tak zrobić?

tak
\(|AD|^2=|AB|^2+|DB|^2-2|AB||DB|\cos\alpha\)

[Jerry]

Zastanawiam się, co w treści tego zadaniu robi okrąg i w ogóle cały czworokąt

Pozdrawiam
PS. Hint radagast uwalnia Cię od analizowania ostrości kąta \(\alpha\)