Dowód, trójkąt ABC.

[asap]

W trójkącie \(ABC\) kąt \(ACB\) ma miarę \(120^\circ\), a środkowa \(CD\) jest prostopadła do boku \(BC\). Wykaż, że \(|AC| = 2|BC|\).

[Młodociany całkowicz]

Z twierdzenia sinusów mamy układ:



\( \begin{cases} \frac{|DB|}{\sin( \frac{\pi}{2})} = \frac{|BC|}{\sin( \angle CDB)}\\ \frac{|AD|}{\sin( \frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2})} = \frac{|DB|}{\sin( \frac{\pi}{6})} = \frac{|AC|}{\sin(\pi - \angle CDB)} = \frac{|AC|}{\sin(\angle CDB)}\end{cases} \)

Mnożąc pierwsze równanie obustronnie razy \(\sin( \frac{\pi}{2}) = 1\) oraz drugie razy \(\sin( \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\) dostajemy:

\( \begin{cases} |DB|= \frac{|BC|}{\sin( \angle CDB)}\\|DB| = \frac{|AC|}{2\sin(\angle CDB)}\end{cases} \)

A zatem
\(\frac{|BC|}{\sin( \angle CDB)} = \frac{|AC|}{2\sin(\angle CDB)} \Rightarrow 2|BC| = |AC|\).

[Jerry]

Albo elementarnie:
1) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

2) \(\Delta MBC\sim\Delta CBD\ (k,k)\)
\({|MB|\over|CB|}={2\over1}\So |MC|=|CB|\)
3) Z \(\Delta MCA\) "charakterystycznego"
\(|AC|=2|MC|\)
4) Z 2) i 3)
\(|AC|=2|CB|\), C.K.D

Pozdrawiam
PS. Zadanie
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=20&t=94266
przy poprawnej treści idzie analogicznie