Optymalizacja

[chemp]

Suma długości promienia okręgu opisanego na podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego i wysokości tego graniastosłupa jest równa 12. Jakie wymiary powinien mieć ten graniastosłup, aby jego objętość była możliwie największa?

[eresh]

Suma długości promienia okręgu opisanego na podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego i wysokości tego graniastosłupa jest równa 12. Jakie wymiary powinien mieć ten graniastosłup, aby jego objętość była możliwie największa?

\(R+H=12\\
\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}+H=12\\
H=12-\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{36-a\sqrt{3}}{3}\\
36-a\sqrt{3}>0\\
-a\sqrt{3}>-36\\
0<a<12\sqrt{3}
\)

\(V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H\\
V(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{36-a\sqrt{3}}{3}\\
V(a)=\frac{36a^2\sqrt{3}-3a^3}{12}\\
V(a)=\frac{12a^2\sqrt{3}-a^3}{4}\\
V'(a)=\frac{24a\sqrt{3}-3a^2}{4}\\
V'(a)=\frac{3a(8\sqrt{3}-a)}{4}\\
V'(a)>0\iff a\in (0,8\sqrt{3})\\
V'(a)<0\iff a\in (8\sqrt{3},12\sqrt{3})\\
V_{max}=V(8\sqrt{3})\\
a=8\sqrt{3}\\
H=\frac{36-24}{3}=4\)

(o ile się nie machnęłam w rachunkach )