Zadanie z trójkątem.

[gr4vity]

W trójkącie \(ABC\) dwusieczna kąta \( \alpha \) przecina bok \(BC\) w punkcie \(R\) a dwusieczna kąta \( \beta \) przecina bok AC w punkcie \(Q\). Dwusieczne przecinają się w punkcie \(S\). Na czworokącie \(RSQC \) można opisać okrąg. Wyznacz długości boków \(SRQ\) oraz miary kątów tego trójkąta jeśli \(|QR|=3\)
Odpowiedzi: Długości boków \( \sqrt{3} , \sqrt{3} , 3\) kąty \(120^ \circ ,30^ \circ ,30^ \circ \)
Bardzo prosiłbym o rozwiązanie z wyjaśnieniem

[eresh]

W trójkącie \(ABC\) dwusieczna kąta \( \alpha \) przecina bok \(BC\) w punkcie \(R\) a dwusieczna kąta \( \beta \) przecina bok AC w punkcie \(Q\). Dwusieczne przecinają się w punkcie \(S\). Na czworokącie \(RSQC \) można opisać okrąg. Wyznacz długości boków \(SRQ\) oraz miary kątów tego trójkąta jeśli \(|QR|=3\)
Odpowiedzi: Długości boków \( \sqrt{3} , \sqrt{3} , 3\) kąty \(120^ \circ ,30^ \circ ,30^ \circ \)
Bardzo prosiłbym o rozwiązanie z wyjaśnieniem

\(|\angle ACB|=180^{\circ}-(\alpha+\beta)
|\angle QSR|=180^{\circ}-|\angle ACB|=\alpha+\beta\)

w trójkącie ASB
\(\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{2}\beta+\alpha+\beta=180^{\circ}\\
\alpha+\beta=120^{\circ}\\
\)
\(|\angle QSR|=120^{\circ}\)

\(|\angle QCS|=30^{\circ}\\
|\angle CSQ|=60^{\circ}\\
|\angle CQS|=|\angle CRS|=90^{\circ}\)
zatem dwusieczne są też wysokościami - stąd trójkąt ABC jest równoboczny
\(|CR|=|CQ|=3\\
|\angle RQS|=|\angle QRS|=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)

\(|SQ|=|SR|\\
\frac{|QR|}{\sin 120^{\circ}}=\frac{|QS|}{\sin 30^{\circ}}\\
\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{|QS|}{0,5}\\
|QS|=\sqrt{3}
\)

[gr4vity]

Dlaczego kąt \(QCS\) jest równy \(30\) stopni?

[gr4vity]

Okej już widzę ! Czy to dlatego, że dwusieczne przecinają się w jednym punkcie więc odcinek \(CS\) pełni rolę dwusiecznej dla \(\angle BCS\)?
Tylko skąd wtedy wiemy, że \(\angle CSQ=60^ \circ \)?

[gr4vity]

\(|\angle QCS|=30^{\circ}\\
|\angle CSQ|=60^{\circ}\\
|\angle CQS|=|\angle CRS|=90^{\circ}\)
zatem dwusieczne są też wysokościami - stąd trójkąt ABC jest równoboczny

Bardzo proszę, mogłabyś wyjaśnić ten fragment z kątami. Walcze z tym już bardzo długo i kompletnie nie mam pomysłu

[eresh]

\(|\angle QCS|=30^{\circ}\\
|\angle CSQ|=60^{\circ}\\
|\angle CQS|=|\angle CRS|=90^{\circ}\)
zatem dwusieczne są też wysokościami - stąd trójkąt ABC jest równoboczny

Bardzo proszę, mogłabyś wyjaśnić ten fragment z kątami. Walcze z tym już bardzo długo i kompletnie nie mam pomysłu

Tak będzie wtedy, gdy trójkąt ABC będzie równoramienny. Czyżby to zadanie z "magicznego" zbioru?

(Rozwiązując, zasugerowałam się odpowiedzią)

[gr4vity]

Czyżby to zadanie z "magicznego" zbioru?

Tak, niestety... czyli to zadanie również jest niewykonalne ?
Chyba czas porzucić ten zbiór.

[gr4vity]

Czyżby to zadanie z "magicznego" zbioru?
(Rozwiązując, zasugerowałam się odpowiedzią)

Spędziłem jeszcze trochę czasu nad tym zadaniem i wydaje mi się, że polecenie jest kompletne.
Wracając do momentu w którym ustaliliśmy, że: \(
|\angle QCR|=60^ \circ \)
Wtedy \(|CS|\) pełni rolę dwusiecznej.
Zatem:
\(|\angle SCQ|=|\angle RCS|=30^ \circ \)
Kąty te oparte są na łukach \(SQ\) oraz kolejno \(SR\) zatem kąty wpisane oparte na tych samych łukach są równe czyli:
\(|\angle SQR|=|\angle RCS|=|\angle SCQ|=|\angle SRQ|=30^ \circ \)
Zatem trójkąt \(SRQ\) jest równoramienny ponieważ w podstawie ma kąty tej samej miary. Zatem z tw. cosinusów wyliczam długości boków \(|SR|=|SQ|\) i z tego wychodzą wyniki które zgadzają się w kryteriach.
Czy mogłabyś sprawdzić czy to co wypisałem ma sens? Jestem prawie pewny, że mam ale wolałbym, żeby osoba doświadczona na to spojrzała.

[eresh]

Czyżby to zadanie z "magicznego" zbioru?
(Rozwiązując, zasugerowałam się odpowiedzią)

Spędziłem jeszcze trochę czasu nad tym zadaniem i wydaje mi się, że polecenie jest kompletne.
Wracając do momentu w którym ustaliliśmy, że: \(
|\angle QCR|=60^ \circ \)
Wtedy \(|CS|\) pełni rolę dwusiecznej.
Zatem:
\(|\angle SCQ|=|\angle RCS|=30^ \circ \)
Kąty te oparte są na łukach \(SQ\) oraz kolejno \(SR\) zatem kąty wpisane oparte na tych samych łukach są równe czyli:
\(|\angle SQR|=|\angle RCS|=|\angle SCQ|=|\angle SRQ|=30^ \circ \)
Zatem trójkąt \(SRQ\) jest równoramienny ponieważ w podstawie ma kąty tej samej miary. Zatem z tw. cosinusów wyliczam długości boków \(|SR|=|SQ|\) i z tego wychodzą wyniki które zgadzają się w kryteriach.
Czy mogłabyś sprawdzić czy to co wypisałem ma sens? Jestem prawie pewny, że mam ale wolałbym, żeby osoba doświadczona na to spojrzała.

Masz rację