zadanie na trójkąt + ciąg

[sinusek]

W trójkącie długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego trójwyrazowego o sumie wyrazów równej 60. Jeden z kątów tego trójkąta ma miarę 120°. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Prosiłbym o wskazówki . Z góry dzięki

[Jerry]

1) Z arytmetyczności cięgu \(a,b,c\) o danej sumie wynika \( \begin{cases}a=20-x\\ b=20\\ c=20+x \end{cases}\wedge x\in (0;20) \)
2) z tw. Carnota mamy \((20+x)^2=20^2+(20-x)^2-2\cdot20\cdot(20-x)\cos120^\circ\)
Rozwiązanie równania ujednoznaczni trójkąt i, np. z wzorów na pole trójkąta, wyznaczysz \(R,\ r\) i ich stosunek

Pozdrawiam

[edited] poprawka, iks chciał być erem

[eresh]

W trójkącie długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego trójwyrazowego o sumie wyrazów równej 60. Jeden z kątów tego trójkąta ma miarę 120°. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Prosiłbym o wskazówki . Z góry dzięki

\(a-r,a,a+r\) - długości boków
\(a-r+a+r+a=60\\
3a=60\\
a=20\)

\((a+r)^2=a^2+(a-r)^2-2a(a-r)\cos 120^{\circ}\\
(20+r)^2=400+(20-r)^2+20(20-r)\\
r=8\)

boki trójkąta: \(12,20,28\)

poradzisz sobie dalej?

[sinusek]

nie wkradł się błąd pod koniec w 6. linijce?

\((20+r)^2=400+(20−r)^2+20(40−r)\)

chyba powinno być \[(20+r)^2=400+(20−r)^2+20(20−r)\]

[Jerry]

Powinno... Ten się nie myli, kto nic nie robi... chyba, że papież, ale to na mocy dogmatu

Pozdrawiam

[eresh]

nie wkradł się błąd pod koniec w 6. linijce?

\((20+r)^2=400+(20−r)^2+20(40−r)\)

chyba powinno być \[(20+r)^2=400+(20−r)^2+20(20−r)\]

na pewno tak powinno być, już poprawiam