Dowód twierdzenia

[bartipablo]

Udowodnij twierdzenie: Okrąg można opisać na czworokącie \(ABCD\) wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne \(AC\) i \(BD\) czworokąta \(ABCD\) tworzą odpowiednio z bokami \(BC\) i \(AD\) kąty równe (tzn. \(|∢ADB|=|∢ACB|\)).
Z góry dziękuję za pomoc.

[Jerry]

1) \(\Rightarrow\)
Kąty \(∢ADB,\ ∢ACB\) są kątami wpisanymi, opartymi na tym samym łuku, zatem są równych miar

2) \(\Leftarrow\)
Niech \(|∢ADB|=|∢ACB|=\alpha\), \(o_D(P,R_D)\) będzie okręgiem opisanym na \(\Delta ABD\), \(o_C(Q,R_C)\) będzie okręgiem opisanym na \(\Delta ABC\). Wtedy
-) \(|∢APB|=|∢AQB|=2\alpha\) jako kąty środkowe
-) \(R_D={|AB|\over2\sin\alpha}=R_C\) z tw. Snelliusa (wzoru sinusów)
Zatem równoramienne \(\Delta ABP,\ \Delta AQB\) są przystające, \(P\equiv Q\) i \(o_D\equiv o_C\) zawiera wszystkie wierzchołki czworokąta \(ABCD\).

Wobec 1), 2) twierdzenie jest prawdziwe

Pozdrawiam

[janusz55]

Można uzupełnić pozostałe miary kątów czworokąta wypukłego przy wierzchołkach A,B,C, D w oparciu o twierdzenie

" kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary" i sprawdzić, że zachodzi warunek opisania okręgu na czworokącie.