Pytanie o geometrię na poziomie olimpijskim

[bilesnaun85]

Cześć. Proszę pomóż mi.

Zadanie 2.27 (BAMO 2012/4). Mając na płaszczyźnie odcinek \(AB\), wybierz na nim punkt \(M\) różny od \(A\) i \(B\). Dwa równoboczne trójkąty \(AMC\) i \(BMD\) w płaszczyźnie są skonstruowane po tej samej stronie odcinka \(AB\). Okręgi opisane w dwóch trójkątach przecinają się w punkcie \(M\) i innym punkcie \(N\).

(a) Udowodnić, że \(AD\) i \(BC\) przechodzą przez punkt \(N\).

(b) Udowodnij, że bez względu na to, gdzie wybierzesz punkt \(M\) na odcinku \(AB\), wszystkie proste \(MN\) przejdą przez jakiś stały punkt \(K\) na płaszczyźnie.

Z książki Geometria euklidesowa dla olimpiady matematycznej, strona 40

Potrzebuję pomocy z częścią (b). Nie rozumiem, jaki byłby punkt \(K\) dla danego zbioru punktów \(A, B\). Prawdopodobnie musimy użyć potęgi punktu.

[Jerry]

Wskazówka:
Wobec wykazanego (a) łatwo można zauważyć, że \(|\angle ANB|=120^\circ=const\) oraz \(\overline{MN}\) należy do dwusiecznej tego kąta. Zatem \(N\) należy do łuku pewnego okręgu o cięciwie \(\overline{AB}\)...

ciąg dalszy

...czyli okręgu opisanego na \(\Delta ABN\) i równocześnie opisanego na równobocznym \(\Delta ABP\). Pozostaje wykazać, że \(P\) zawiera się w prostej wyznaczonej przez \(M,N\). Wtedy \(P\equiv K\).

Pozdrawiam