Dowód na prostopadłość środkowych trójkąta

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
sinusek
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 10 sty 2021, 17:55
Lokalizacja: Układ Słoneczny
Podziękowania: 11 razy
Płeć:

Dowód na prostopadłość środkowych trójkąta

Post autor: sinusek »

W trójkącie \(ABC: |CA|=b, |BA|=c, |BC|=a\) i \(a^2+b^2=5c^2\)
Udowodnij, że środkowe \(AD\) i \(BE\) są prostopadłe.

Z góry dzięki! :wink:
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1436
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 388 razy

Re: Dowód na prostopadłość środkowych trójkąta

Post autor: janusz55 »

Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Dowód na prostopadłość środkowych trójkąta

Post autor: eresh »

sinusek pisze: 10 sty 2021, 20:40 W trójkącie \(ABC: |CA|=b, |BA|=c, |BC|=a\) i \(a^2+b^2=5c^2\)
Udowodnij, że środkowe \(AD\) i \(BE\) są prostopadłe.

Z góry dzięki! :wink:
S - punkt przecięcia środkowych
\(|AS|=2x\\
|SD|=x\\
|BS|=2y\\
|SE|=y\)

\(|\angle ASB|=\alpha\)

trójkąt ASB:
\(c^2=4x^2+4y^2-8xy\cos\alpha\)

trójkąt SDB
\(\frac{1}{4}a^2=4y^2+x^2-4xy\cos(180^{\circ}-\alpha)\\
a^2=16y^2+4x^2+16xy\cos\alpha\)


trójkąt AES
\(\frac{1}{4}b^2=4x^2+y^2-4xy\cos(180^{\circ}-\alpha)\\
b^2=16x^2+4y^2+16xy\cos\alpha\)


\(a^2+b^2=5c^2\\
16y^2+4x^2+16xy\cos\alpha+16x^2+4y^2+16xy\cos\alpha=20x^2+20y^2-40xy\cos\alpha\\
\cos\alpha=0\\
\alpha=90^{\circ}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ