W trójkącie \(ABC: |CA|=b, |BA|=c, |BC|=a\) i \(a^2+b^2=5c^2\)
Udowodnij, że środkowe \(AD\) i \(BE\) są prostopadłe.
Z góry dzięki!
Dowód na prostopadłość środkowych trójkąta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Dowód na prostopadłość środkowych trójkąta
S - punkt przecięcia środkowych
\(|AS|=2x\\
|SD|=x\\
|BS|=2y\\
|SE|=y\)
\(|\angle ASB|=\alpha\)
trójkąt ASB:
\(c^2=4x^2+4y^2-8xy\cos\alpha\)
trójkąt SDB
\(\frac{1}{4}a^2=4y^2+x^2-4xy\cos(180^{\circ}-\alpha)\\
a^2=16y^2+4x^2+16xy\cos\alpha\)
trójkąt AES
\(\frac{1}{4}b^2=4x^2+y^2-4xy\cos(180^{\circ}-\alpha)\\
b^2=16x^2+4y^2+16xy\cos\alpha\)
\(a^2+b^2=5c^2\\
16y^2+4x^2+16xy\cos\alpha+16x^2+4y^2+16xy\cos\alpha=20x^2+20y^2-40xy\cos\alpha\\
\cos\alpha=0\\
\alpha=90^{\circ}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę