Pomocy Zadania - proste na płaszczyźnie i w przestrzeni i płaszczyzny

[kolniego1234]

Bardzo prosze o pomoc w rozwiązaniu zadań. Muszę wybrać 3.
1. Pod jakim kątem nachylona jest do osi x prosta o równaniu:
\(y = -\sqrt{3}x + 3\).

4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach: \(A = (3,4) B = (5,1) C = (-3,3)\)
Znaleźć równanie środkowej i wysokości z wierzchołka A w tym trójkącie.

6. Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej :
\(4x - 3y + 11 = 0\)
i przechodzącej przez punkt powyższej prostej o odciętej równej 1.

9. Dany jest punkt \(A = (3,-5)\) oraz prosta \(y = 3x\).
Znajdź punkt symetryczny do A względem danej prostej.

11. Dana jest prosta m w przestrzeni:
\(m: x = -1 + 2t y = -2 + 5t z = -1 -t\), \(t \in R\)
oraz punkt \(A = (5,1,2)\).
Znaleźć punkt symetryczny do A względem prostej m.

12. Obliczyć odległość punktu \(P( -3, 1, 2)\) od prostej l:
\(x = -3 + 3t y = 0 z = 2 + 4t\)

16. Znaleźć punkt przecięcia prostej:
\(x = 2 + t; y = 1 - t ; z = -1 + 2 t\) \(t \in R\)
z płaszczyzną : \(x + y + z -1 = 0\) oraz kąt między prostą i płaszczyzną

19. Czy płaszczyzny :
i \(2x - 3y + 6z -4 = 0\)
\(-x + 1.5y - 3z + 5 = 0\)
ii \(2x - y + 3z + 2 = 0\)
\(4x + 2y + 6z + 4 = 0\)
są do siebie równoległe?

[eresh]

Bardzo prosze o pomoc w rozwiązaniu zadań. Muszę wybrać 3.
1. Pod jakim kątem nachylona jest do osi x prosta o równaniu:
y = \(-\sqrt{3}x + 3\).

\(a=\tg \alpha\\
-\sqrt{3}=\tg\alpha\\
\alpha=120^{\circ}\)

[eresh]

4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach: \(A = (3,4) B = (5,1) C = (-3,3)\)
Znaleźć równanie środkowej i wysokości z wierzchołka A w tym trójkącie.

S - środek boku BC
\(S(\frac{-3+5}{2},\frac{3+1}{2})\\
S(1,2)\)
środkowa AS:
\(a_{AS}=\frac{4-2}{3-1}\\
a_{AS}=1\\
y=(x-1)+2\\
y=x+1\)

współczynnik kierunkowy prostej zawierającej BC
\(a_{BC}=\frac{3-1}{-3-5}=\frac{2}{-8}=\frac{-1}{4}\)
równanie wysokości:
\(y=4(x-3)+4\\
y=4x-8\)

[eresh]

6. Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej :
4x - 3y + 11 = 0
i przechodzącej przez punkt powyższej prostej o odciętej równej 1.

\(A(1,5)\\
3x+4y+C=0\\
3+20+C=0\\
C=-23\\
3x+4y-23=0\)

[kolniego1234]

Bardzo dziękuję za wszystkie odpowiedzi

[eresh]

9. Dany jest punkt \(A = (3,-5)\) oraz prosta \(y = 3x\).
Znajdź punkt symetryczny do A względem danej prostej.

prosta prostopadła do \(y=3x\) i przechodząca przez \(A\)
\(y=-\frac{1}{3}(x-3)-5\\
y=-\frac{1}{3}x-4\)

punkt wspólny obu prostych (środek odcinka AA')
\(-\frac{1}{3}x-4=3x\\
x=-\frac{6}{5}\\
y=\frac{-18}{5}\)

\(-\frac{6}{5}=\frac{3+x}{2}\So x=-\frac{27}{5}\\
-\frac{18}{5}=\frac{-5+y}{2}\So y=-\frac{11}{5}\\
A'(-\frac{27}{5},-\frac{11}{5})\)

[Jerry]

19. Czy płaszczyzny :
i \(2x - 3y + 6z -4 = 0\)
\(-x + 1.5y - 3z + 5 = 0\)
ii \(2x - y + 3z + 2 = 0\)
\(4x + 2y + 6z + 4 = 0\)
są do siebie równoległe?

i) tak, bo \([2,-3,6]=-2\cdot\left[-1,{3\over2},-3\right]\)
ii) nie, bo \([2,-1,3]\nparallel [4,2,6]\)