Planimetria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 sie 2020, 15:05
Planimetria
zad.1 W czworokącie ABCD kąt ADC ma miarę \(30^\circ\) oraz \(|AB|=3\), \(|BC|=4\), \(|AC|=6\). Uzasadnij, że na tym czworokącie nie można opisać okręgu.
zad.2 Udowodnij, że suma odległości dowolnego punktu leżącego na podstawie trójkąta
równoramiennego do jego ramion nie zależy od wyboru tego punktu.
zad.3 W trójkącie o bokach długości \(a, b, c\) środkowe poprowadzone do boków \(a\) i \(b\) są do siebie prostopadłe. Udowodnij, że \(a^2+b^2=5c^2\)
zad.4 Na zewnątrz kwadratu na jednym z jego boków skonstruowano trójkąt prostokątny.
Przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu. Udowodnij, że dwusieczna kąta
prostego tego trójkąta dzieli pole kwadratu na połowy.
zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s
zad.6 Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Uzasadnij, że jeśli AM i AN są średnicami
tych okręgów, to punkty M,B,N leżą na jednej prostej.
zad.2 Udowodnij, że suma odległości dowolnego punktu leżącego na podstawie trójkąta
równoramiennego do jego ramion nie zależy od wyboru tego punktu.
zad.3 W trójkącie o bokach długości \(a, b, c\) środkowe poprowadzone do boków \(a\) i \(b\) są do siebie prostopadłe. Udowodnij, że \(a^2+b^2=5c^2\)
zad.4 Na zewnątrz kwadratu na jednym z jego boków skonstruowano trójkąt prostokątny.
Przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu. Udowodnij, że dwusieczna kąta
prostego tego trójkąta dzieli pole kwadratu na połowy.
zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s
zad.6 Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Uzasadnij, że jeśli AM i AN są średnicami
tych okręgów, to punkty M,B,N leżą na jednej prostej.
Ostatnio zmieniony 26 sie 2020, 21:52 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości
Powód: poprawa wiadomości
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Planimetria
vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47 zad.1 W czworokącie ABCD kąt ADC ma miarę 30 oraz |AB|=3, |BC|=4, |AC|=6. Uzasadnij, że na
tym czworokącie nie można opisać okręgu.
twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC:
\(|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|\cos\angle ABC\\
36=9+16-24\cos\alpha\\
24\cos\alpha=-11\\
\cos\alpha=-\frac{11}{24}\)
aby można było na tym czworokącie opisać okrąg \(|angle ADC|+|\angle ABC|=180^{\circ}\), czyli \(|\angle ABC|\) musiałby mieć 150 stopni, \(\cos 150^{\circ}\neq -\frac{11}{24}\), zatem na tym czworokącie nie można opisać okręgu.
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Planimetria
skoro AM jest średnicą to kąt ABM ma 90 stopni.vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.6 Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Uzasadnij, że jeśli AM i AN są średnicami
tych okręgów, to punkty M,B,N leżą na jednej prostej.
skoro AN jest średnicą to kąt ABN ma 90 stopni.
90+90=180 zatem punkty MBN są współliniowe
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Planimetria
trójkąta ABCvivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.2 Udowodnij, że suma odległości dowolnego punktu leżącego na podstawie trójkąta
równoramiennego do jego ramion nie zależy od wyboru tego punktu.
podstawa trójkąta - \(|AB|=a\)
ramię trójkąta - \(|AC|=|BC|=b\)
wysokość trójkąta opuszczona na podstawę - h
D - dowolny punkt na podstawie
E - punkt na ramieniu AC, \(ED \perp AC\)
F - punkt na ramieniu BC, \(FD \perp BC\)
\(P_{ABC}=\frac{1}{2}ah\\
P_{ABC}=P_{ADC}+P_{CDB}=\frac{1}{2}|AC||ED|+\frac{1}{2}|CB||DF|\\
\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}b|ED|+\frac{1}{2}b|DF|\\
ah=b(|ED|+|DF|)\\
|ED|+|DF|=\frac{ah}{b}\)
suma jest stała, niezależna od wyboru punktu D
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Planimetria
D - punkt przecięcia środkowychvivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.3 W trójkącie o bokach długości a, b, c środkowe poprowadzone do boków a i b są do siebie
prostopadłe. Udowodnij, że a^2+b^2=5c^2
E - środek boku BC
F - środek boku AC
\(|AD|=2x\\
|ED|=x\\
|DB|=2y\\
|DF|=y\\
|AD|^2+|DB|^2=|AB|^2\\
4x^2+4y^2=c^2\)
\(|FD|^2+|DA|^2=|AF|^2\\
y^2+4x^2=\frac{1}{4}b^2\\
4y^2+16x^2=b^2\)
\(|DE|^2+|DB|^2=|EB|^2\\
x^2+4y^2=\frac{1}{4}a^2\\
4x^2+16y^2=a^2\)
\(a^2+b^2=4x^2+16y^2+4y^2+16x^2=20x^2+20y^2=5(4x^2+4y^2)=5c^2\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Planimetria
co to jest s?vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Witam na forum
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 sie 2020, 15:05
Re: Planimetria
poleeresh pisze: ↑26 sie 2020, 18:22co to jest s?vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Planimetria
domyślam się, że trójkątavivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 18:27poleeresh pisze: ↑26 sie 2020, 18:22co to jest s?vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s
chcesz pomocy - wpisuj całą treść zadania
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Planimetria
Tak wygląda sytuacja . Poradzisz sobie z opisem ?vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.4 Na zewnątrz kwadratu na jednym z jego boków skonstruowano trójkąt prostokątny.
Przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu. Udowodnij, że dwusieczna kąta
prostego tego trójkąta dzieli pole kwadratu na połowy.
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Planimetria
a,b - przyprostokątne trójkątavivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.5 W trójkąt prostokątny o polu s wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s
x, y - boki prostokąta, x zawiera się w b, y - zawiera się w a
\(0<x<b,\;0<y<a\)
\(\frac{1}{2}ab=s\\
ab=2s\)
\(\frac{a}{b}=\frac{y}{b-x}\\
ab-ax=by\\
\frac{ab-ax}{b}=y\)
\(P=xy\\
P=x\cdot\frac{ab-ax}{b}\\
P=ax-\frac{a}{b}x^2\\
p=\frac{-a}{-2\cdot \frac{a}{b}}=\frac{b}{2}\\
P_{max}=P(\frac{b}{2})=a\cdot\frac{b}{2}-\frac{a}{b}\cdot\frac{b^2}{4}=\frac{ab}{2}-\frac{ab}{4}=\frac{ab}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}ab
=\frac{1}{2}s\)
to jest pole maksymalne, czyli pole prostokąta będzie nie większe od wyznaczonego pola maksymalnego
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Witam na forum
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 sie 2020, 15:05
Re: Planimetria
takradagast pisze: ↑26 sie 2020, 18:38ScreenHunter_330.jpgvivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.4 Na zewnątrz kwadratu na jednym z jego boków skonstruowano trójkąt prostokątny.
Przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu. Udowodnij, że dwusieczna kąta
prostego tego trójkąta dzieli pole kwadratu na połowy.
Tak wygląda sytuacja . Poradzisz sobie z opisem ?