Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu

[radagast]

Dany jest kwadrat ABCD. Wewnątrz tego kwadratu wybrano taki punkt E, że trójkąt ABE jest równoboczny. Na odcinku AB wybrano taki punkt P, że ∡APE=∡BPC=α . Wyznacz α.

[kerajs]

Przyjmę, iż bok kwadratu wynosi 2a, a E' to rzut E na AB
\(\tg \alpha = \frac{|EE'|}{x} = \frac{|BC|}{ |CE'| -x} \\
\tg \alpha = \frac{a \sqrt{3} }{x} = \frac{2a}{a-x} \\
x= \frac{a \sqrt{3} }{2+ \sqrt{3} } \\
\alpha =\arctg (2+ \sqrt{3} ) =75^\circ
\)

[radagast]

Dzięki, a dałbyś radę metodami gimnazjalnymi (bez trygonometrii) . To zadanie pochodzi z egzaminu do t. zw. MATEX-u z ubiegłego roku. Na pewno się da
Jakby tak pokazać , że trójkąt CEP jest 30,60,90...

[radagast]

Wymyśliłam !! Pochwalę się :

Dorysujmy drugi kwadrat (jak na rysunku powyżej i zauważmy ,że \(D_1C_1CD\) jest trapezem równoramiennym, a więc mozna na nim opisać okrąg. W dodatku środek tego okręgu to punkt B (bo BC=BE=BA=...=a).
Trójkąt CEB jest równoramienny i ma kąty 30,75,75
zatem kąt \(EC_1C\) ma 15 stopni czyli kąt \(E_1CC_1\) również ma 15 stopni (bo \(PC_1C\) równoramienny)
No to kąt QPC ma 15 stopni (jako naprzemianległy)
No to kąt QPE ma 15 stopni (bo tak jak kąt QPC dopełnia do 90 stopni kąt alfa)
No to kąt EPC ma 30 stopni
No to kąt alfa ma \( \frac{180-30}{2}=75 \) stopni

[Piskorek]

W drugiej linijce pomylone jest CC1 powinno być EE1.
Oprócz tego super.