równość w trójkacie

[attec18]

Niech ABC bedzie trójkatem w którym \(AB=c , BC=a,AC=b\). Niech \( x,y\in\mathbb{R}\) takie że \(\frac{1}{x} +\frac{1}{y+z} = \frac{1}{a} , \frac{1}{y} +\frac{1}{x+z} = \frac{1}{b} \) , \(\frac{1}{z} +\frac{1}{y+x} = \frac{1}{c} \) . Wykaż żę \( x(p-a) + y(p-b) + z(p-c) = 3r^2 + 12Rr\) , gdzie p połowa owodu, R- promień okręgu opisanego, a r promień okręgu wpisanego.

[Sciurius]

Założenia:
\(x,y,z,x+y,x+z,y+z,x+y+z \neq 0\)

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{a} \to \frac{1}{a} = \frac{x+y+z}{x(y+z)} \to a=\frac{x(y+z)}{x+y+z} \)
Analogicznie:
\(b= \frac{y(x+z)}{x+y+z} \)
\(c= \frac{z(y+x)}{x+y+z} \)

\(p= \frac{1}{2} Obw = \frac{a+b+c}{2} = \frac{x(y+z)+y(x+z)+z(y+x)}{2(x+y+z)} = \frac{2(xy+xz+yz)}{2(x+y+z)} = \frac{(xy+xz+yz)}{(x+y+z)} \)

\(p-a = \frac{yz}{x+y+z} \)
\(p-b = \frac{xz}{x+y+z} \)
\(p-c = \frac{xy}{x+y+z} \)

Korzystając ze wzorów:
\(P= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)
\(P=p*r \to r= \frac{P}{p} \)
\(P= \frac{abc}{4R} \to R=\frac{abc}{4P} \)

\(3r^2 +12Rr = 3 \frac{P^2}{p^2} + 12 \frac{P}{p} * \frac{abc}{4P} = 3 \frac{P^2}{p^2} + 3 \frac{abc}{p} = \frac{3}{p}( \frac{P^2}{p} +abc) =\\ = \frac{3}{p}( \frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p} +abc) = \frac{3}{p}((p-a)(p-b)(p-c)+abc) \)

Przekształcając równoważnie otrzymujemy:
\(x(p-a)+y(p-b)+z(p-c)= \frac{3xyz}{x+y+z}= \frac{3}{p}((p-a)(p-b)(p-c)+abc) /*\frac{p}{3} \)
\(\frac{3xyz}{x+y+z} * \frac{(xy+xz+yz)}{3(x+y+z)} = \frac{yz}{x+y+z} * \frac{xz}{x+y+z} * \frac{xy}{x+y+z} +\frac{x(y+z)}{x+y+z} * \frac{y(x+z)}{x+y+z} * \frac{z(y+x)}{x+y+z} \)
\( \frac{xyz(xy+xz+yz)}{(x+y+z)^2} = \frac{(xyz)^2}{(x+y+z)^3} + \frac{xyz(x+y)(x+z)(y+z)}{(x+y+z)^3} /: \frac{xyz}{(x+y+z)^2} \)
\(xy+xz+yz= \frac{xyz}{(x+y+z)} +\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{(x+y+z)} /* (x+y+z)\)
\((xy+xz+yz)(x+y+z)=xyz+(x+y)(x+z)(y+z)\)
\(x^2y+y^2x+xyz+x^2z+xyz+z^2x+xyz+y^2z+yz^2 = xyz+(x+y)(x+z)(y+z)\)
\(x^2y+y^2x+z^2x+yz^2+xyz+x^2z+xyz+y^2z =(x+y)(x+z)(y+z)\)
\(xy(x+y)+z^2(x+y)+xz(x+y)+yz(x+y)=(x+y)(x+z)(y+z)\)
\((x+y)(xy+xz+z^2+yz)=(x+y)(x+z)(y+z)\)
\((x+y)(x(y+z)+z(y+z))=(x+y)(x+z)(y+z)\)
\((x+y)(x+z)(y+z)=(x+y)(x+z)(y+z)\)
\(1=1\)

q.e.d.