długość najkrótszego odcinka

[hyprj]

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości \(BC=a, AC=b\), taki że \(a \ge b \ge AB\). Wyznacz długość najkrótszego odcinka o końcach należących do boków trójkąta \(AC\) i \(BC\), który dzieli trójkąt \(ABC\) na trójkąt i czworokąt o równych polach wiedząc że \( |\angle ACB|= \gamma \)

[kerajs]

\([ \frac{1}{2}xy\sin \gamma = \frac{1}{2}( \frac{1}{2}ab\sin \gamma ) \ \ \So \ \ y= \frac{ab}{2x} \\
c^2=x^2+y^2-2xy\cos \gamma =x^2+(\frac{ab}{2x})^2-2x \cdot \frac{ab}{2x}\cos \gamma =x^2+ \frac{a^2b^2}{4} \cdot \frac{1}{x^2}-ab\cos \gamma \\
\\
c^2=f(x)= x^2+ \frac{a^2b^2}{4} \cdot \frac{1}{x^2}-ab\cos \gamma \\
f'=2x+ \frac{a^2b^2}{4} \cdot ( \frac{-2}{x^3} )= \frac{4x^4-a^2b^2}{2x^3} \\
f_{min}=f( \sqrt{ \frac{ ab}{2}} )=ab( 1-\cos \gamma )\\
c_{min}= \sqrt{ab( 1-\cos \gamma )} \)

Edit:
Poprawiłem błędny znak w tw. kosinusów. Przepraszam.

[panb]

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości BC=a, AC=b, taki że \(a \ge b \ge AB\). Wyznacz długość najkrótszego odcinka o końcach należących do boków trójkąta AC i BC, który dzieli trójkąt ABC na trójkąt i czworokąt o równych polach wiedząc że \( \angle ACB= \gamma \)

Najpierw rysunek ilustrujący zadanie:

rys.png (11.44 KiB) Przejrzano 1441 razy

Pole trójkąta ABC: \(P_0= \frac{1}{2}ab\sin\gamma \)
Pole trójkąta utworzonego przez odcinek: \(P_1= \frac{1}{2}xy\sin\gamma \). Pole czworokąta utworzonego przez odcinek: \(P_2=P_0-P_1\)
Ponieważ trójkąt i czworokąt maja równe pola, więc \(P_0-P_1=P_1 \So P_1= \frac{1}{2}P_0 \), czyli
\(\frac{1}{2}xy\sin\gamma= \frac{1}{4} ab\sin\gamma \So y= \frac{ab}{2x},\,\,\, x\in (0,b)\)

Teraz możemy się zająć długością odcinka d (ma być jak najkrótsza).

Z twierdzenia cosinusów mamy: \(d^2=x^2+y^2-2xy\cos\gamma=x^2+ \frac{a^2b^2}{4x^2}-ab\cos\gamma \)

ponieważ ab\cos\gamma jest wielkością stałą, niezależną od x, więc d (oraz \(d^2\))będzie najmniejsze, gdy wyrażenie
\(f(x)=x^2+ \frac{a^2b^2}{4x^2}, x\in (0,b)\) będzie najmniejsze
\(f'(x)=2x- \frac{a^2b^2}{2x^3}=2x \left(1- \frac{a^2b^2}{4x^4} \right)=0 \So x= \sqrt{ \frac{ab}{2} } \) (w tym punkcie jest minimum).
\(
d^2_{min}=x^2+y^2-ab\cos\gamma= \frac{ab}{2}+ \frac{ab}{2} -ab\cos\gamma=ab(1-\cos\gamma)\)

Najmniejsza długość odcinka \(d= \sqrt{ab(1-\cos\gamma)} \)