Pole zawarte między trzema kołami

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
GoldenRC
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 16
Rejestracja: 18 paź 2019, 16:57
Podziękowania: 6 razy

Pole zawarte między trzema kołami

Post autor: GoldenRC » 20 maja 2020, 11:27

Cześć,
Zadanie: oblicz pole zawarte między trzema stycznymi zewnętrznie kołami o promieniach: r1=1cm, r2=2cm, r3=3cm.

Co zrobiłem:
Obliczyłem pole dużego trójkąta (między środkami okręgów), czyli 6cm2. Jest to trójkąt prostokątny, klasyczny pitagorejski 5,4,3.
Teraz muszę obliczyć pole 3 wycinków aby je odjąć od pola dużego trójkąta i otrzymać pole szukanej figury.
Jeden kąt ma wiadomo, 90st. Zostają mi do obliczenia dwa kąty, a (sin a = 4/5), oraz b (sin b = 3/5). Niestety nie daje mi to konkretnego kąta, którego potrzebuję do obliczenia pól wycinków.
Co robię źle? Mógłbym prosić o pomoc?

Obrazek

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1852
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 790 razy
Płeć:

Re: Pole zawarte między trzema kołami

Post autor: kerajs » 20 maja 2020, 11:58

Dlaczego zakładasz iż kąt musi być ładny.
Przyjmij że \( \alpha =\arcsin \frac{4}{5} \)

Można też całkować:
\(P= \int_{ \frac{9}{4} }^{3}(\int_{ \sqrt{9-x^2} }^{ \frac{12}{5}- \sqrt{1-(x-3)^2} } dy) dx +\int_{3}^{3+ \frac{2}{3} }(\int_{ \sqrt{4-(x-5)^2} }^{ \frac{12}{5}- \sqrt{1-(x-3)^2} } dy) dx \)

GoldenRC
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 16
Rejestracja: 18 paź 2019, 16:57
Podziękowania: 6 razy

Re: Pole zawarte między trzema kołami

Post autor: GoldenRC » 20 maja 2020, 16:14

kerajs pisze:
20 maja 2020, 11:58
Dlaczego zakładasz iż kąt musi być ładny.
Przyjmij że \( \alpha =\arcsin \frac{4}{5} \)

Można też całkować:
\(P= \int_{ \frac{9}{4} }^{3}(\int_{ \sqrt{9-x^2} }^{ \frac{12}{5}- \sqrt{1-(x-3)^2} } dy) dx +\int_{3}^{3+ \frac{2}{3} }(\int_{ \sqrt{4-(x-5)^2} }^{ \frac{12}{5}- \sqrt{1-(x-3)^2} } dy) dx \)
Niestety to poziom technikum więc nie miałem jeszcze całek a z arcsin się też jeszcze nie spotkałem. Są jakieś inne sposoby na zrobienie tego?

Sciurius
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 33
Rejestracja: 05 maja 2020, 16:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: Pole zawarte między trzema kołami

Post autor: Sciurius » 20 maja 2020, 16:44

arcsin to funkcja odwrotna do funkcji sin czyli
\(\sin x = y \to \arcsin y = x\)
I wstawienie arcsin 4/5 i arcsin 3/5 pozwala na uzyskanie dokładnego wyniku
jeżeli nie chcesz używać arc sin to albo spoglądasz w tablice i patrzysz dla jakiego \(\alpha\) sin jest równy odpowiednio 3/5 i 4/5 (tak de facto robisz to co robi funkcja arcsin) wynik wyjdzie przybliżony ale myślę że tyle wystarczy
Pozdrawiam

Sciurius