Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego alfa

[Jaskierson]

a) \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\)
b) \(\tg\alpha =\frac{1}{4}\)
c) \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\)
d) \(\tg\alpha =\frac{1}{3}\)

[eresh]

a) \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\)

\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\\
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
\sin^2\alpha+\frac{1}{4}=1\\
\sin^2\alpha=\frac{3}{4}\\
\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\;\; \wedge \;\;\tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{1}=\sqrt{3}\\
\)

[eresh]

b) \(\tg\alpha =\frac{1}{4}\)

\(\tg\alpha=\frac{1}{4}\\
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{4}\\
4\sin\alpha=\cos\alpha\)

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
\sin^2\alpha+16\sin^2\alpha=1\\
17\sin^2\alpha=1\\
\sin^2\alpha=\frac{1}{17}\\
\sin\alpha=\frac{\sqrt{17}}{17}\;\;\; \wedge \;\;\;\cos\alpha=\frac{4\sqrt{17}}{17}\\
\)

[eresh]

c) \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\)

\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\\
\frac{1}{4}+\cos^2\alpha=1\\
\cos^2\alpha=\frac{3}{4}\\
\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\;\; \wedge \;\;\tg\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\
\)

[eresh]

d) \(\tg\alpha =\frac{1}{3}\)

\(\tg\alpha=\frac{1}{3}\\
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{3}\\
\cos\alpha=3\sin\alpha\)

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
\sin^2\alpha+9\sin^2\alpha=1\\
10\sin^2\alpha=1\\
\sin^2\alpha=\frac{1}{10}\\
\sin\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}\;\; \wedge \;\;\cos\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}\\
\)

[Galen]

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym .
Przyprostokątne a i b oraz przeciwprostokątną c.
a)
\(cos \alpha = \frac{b}{c}= \frac{1x}{2x}\\b=1x\\c=2x\\a^2+b^2=c^2\\a^2=(2x)^2-(1x)^2=4x^2-x^2=3x^2\\a=x \sqrt{3}\\sin \alpha = \frac{a}{c}= \frac{x \sqrt{3} }{2x}= \frac{ \sqrt{3} }{2}\\tg \alpha = \frac{a}{b}= \frac{x \sqrt{3} }{x}= \sqrt{3}\\ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha }= \frac{1}{ \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{3} \\ \alpha =60^o\)
Podobnie w zad.c możesz od razu określić miarę kąta i podać wartości funkcji trygonometrycznych.
\(c)\\sin \alpha = \frac{1}{2}\\ \alpha =30^o\\cos30^o= \frac{ \sqrt{3} }{2}\\tg 30^o= \frac{ \sqrt{3} }{3} \\ctg30^o= \sqrt{3} \)
\(b)\\tg \alpha = \frac{a}{b}= \frac{1x}{4x}\\a^2+b^2=c^2\\x^2+(4x)^2=c^2\\c^2=17x^2\\c=x \sqrt{17}\\sin \alpha = \frac{a}{c}= \frac{1}{ \sqrt{17} }= \frac{ \sqrt{17} }{17}\\cos \alpha = \frac{b}{c}= \frac{4x}{x \sqrt{17} }= \frac{4}{ \sqrt{17} }\)
\(d)\\tg \alpha = \frac{a}{b}= \frac{x}{3x}\\a=x\\b=3x\\c^2=a^2+b^2=x^2+9x^2=10x^2\\c=x \sqrt{10}\\sin \alpha = \frac{a}{c}= \frac{x}{x \sqrt{10} }= \frac{1}{ \sqrt{10} }= \frac{ \sqrt{10} }{10}\\cos\alpha= \frac{b}{c}= \frac{3x}{x \sqrt{10} }= \frac{3 \sqrt{10} }{10}\)