poste - dowód

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
attec18
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 68
Rejestracja: 30 mar 2020, 23:25
Podziękowania: 11 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

poste - dowód

Post autor: attec18 »

Różne punkty A oraz D leżą po tej samej stronie prostej BC, tak że \(|AB| = | BC|= |CD|\) oraz proste AD i BC są prostopadłe. Niech E będzie punktem przecięcia prostych AD oraz BC. Wykaże że \(||BE| − |CE|| < \sqrt{3}|AD| .\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: poste - dowód

Post autor: Jerry »

Zrób schludny rysunek! Niech \(|AB| = | BC|= |CD|=a,\ |\angle CBA|=\alpha\)
Bez utraty ogólności niech \(|BE|>|EC|\), wtedy \(\alpha\in (0;\ 60^\circ)\). Gdyby |BE|=|EC|, to A=D

1) z \(\Delta ABE\colon\ |BE|=a\cos\alpha\So |CE|=a-a\cos\alpha\)
\(L_N=2a\cos\alpha-a\)

2) z \(\Delta ABC\colon |AC|=2a\sin\frac{\alpha}{2}\)

3) z \(\Delta DCA\colon\ |AD|+|AC|>|DC|\iff |AD|>a-2a\sin\frac{\alpha}{2}\)
\(P_N=\sqrt3|AD|>\sqrt3\cdot\left(a-2a\sin\frac{\alpha}{2}\right)\)

4) pozostaje, lematycznie, wykazać, że
\(\sqrt3\cdot\left(1-2\sin\frac{\alpha}{2}\right)\ge 2\cos\alpha-1\) dla \(\alpha\in (0;\ 60^\circ)\)
albo, inaczej,
\(\sqrt3\cdot\left(1-2t\right)\ge 2(1-2t^2)-1\) dla \(t=\sin\frac{\alpha}{2}\in \left(0;\ \frac{1}{2}\right)\)

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ