kąt w trójkacie

[attec18]

W trójkącie ABC kąty przy wierzchołkach A,B,C wynoszą odpowiednio \(45^o,75^o,60^o\). Niech D,E,F będą spodkami wysokości poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków A,B,C do przeciwległych boków. Dodatkowo niech G,H,I będą odpowiednio spodkami wysokości poprowadzonych z A na EF, B na DF oraz z C na DE. Oblicz miarę kąta HGI.

[kerajs]

Pewnie jest jakieś ładne i szybkie rozwiązanie. I może ktoś takie poda.
Jednak nie znając go, możesz sobie poradzić wrzucając ten trójkąt w układ współrzędnych i wyliczając współrzędne punktów z prostopadłości prostych.
\(A=(- k\sqrt{3}, 0 ) \ , \ B=(0, k\sqrt{3} ) \ , \ C=(k,0)\)

[Jerry]

...\(A=(- k\sqrt{3}, 0 ) \ , \ B=(0, k\sqrt{3} ) \ , \ C=(k,0)\)

Nie tracąc ogólności rozwiązania, z dokładnością do podobieństwa, wystarczy
\(A=(- \sqrt{3}, 0 ) \ , \ B=(0, \sqrt{3} ) \ , \ C=(1,0)\)

Pozdrawiam
PS. W wolniejszej chwili zrobię schludny rysunek...

[attec18]

...\(A=(- k\sqrt{3}, 0 ) \ , \ B=(0, k\sqrt{3} ) \ , \ C=(k,0)\)

Nie tracąc ogólności rozwiązania, z dokładnością do podobieństwa, wystarczy
\(A=(- \sqrt{3}, 0 ) \ , \ B=(0, \sqrt{3} ) \ , \ C=(1,0)\)

Pozdrawiam
PS. W wolniejszej chwili zrobię schludny rysunek...

A czemu takie punkty, coś pewnie z kątami ale nie wiem jak na takie coś wpaść.

[Jerry]

... W wolniejszej chwili zrobię schludny rysunek...

Z rysunku można wyczytać, że trójkąt spodkowy jest prostokątny oraz miary wielu kątów, \(15^\circ\) i \(75^\circ\) szczególnie się przydają. Dokładnie ich tangensy do wskazania równań prostych ...

Nie tracąc ogólności rozwiązania, z dokładnością do podobieństwa, wystarczy
\(A=(- \sqrt{3}, 0 ) \ , \ B=(0, \sqrt{3} ) \ , \ C=(1,0)\)

Wtedy \(G=\left(\frac{3-2\sqrt3}{4},\frac{\sqrt3}{4}\right)\), \(H=\left(\frac{3-2\sqrt3}{4},\frac{3\sqrt3}{4}\right)\) i \(I=\left(\frac{2-\sqrt3}{4},\frac{1}{4}\right)\) i \(|\angle HGI|=135^\circ\)
Wystarczyłoby w takim razie wykazać elementarnie to, co wynika z powyższego:
\(\overline{HG}\parallel\overline{BF}\) oraz \(\overline{GI}\parallel\overline{EC}\) ,
ale na to pomysłu szybkiego nie mam ...

Pozdrawiam

[Jerry]

\(A=(- \sqrt{3}, 0 ) \ , \ B=(0, \sqrt{3} ) \ , \ C=(1,0)\)

A czemu takie punkty, coś pewnie z kątami ale nie wiem jak na takie coś wpaść.

Zrób schludny rysunek w układzie współrzędnych tak, aby wysokość \(\overline{BF}\) leżała na osi \(oy\), a podstawa \(AB\) na osi \(ox\). Po "lewej" stronie zobaczysz prostokątny trójkąt równoramienny, po "prawej" połówkę trójkąta równobocznego. Jeśli miałby on bok \(2\), to jego wysokość \(\sqrt3\) byłaby równocześnie przyprostokątną tego równoramiennego...

Pozdrawiam
PS. Minęliśmy się z postami...

[edited] dodałem rysunek