obwód trójkąta

[inter]

Średnica okręgu opisanego na trójkącie ABC wynosi \(25\). Długości \(AB, BC, CA\) są liczbami naturalnymi oraz \(AB > BC\). Odległości od środka tego okręgu do boków AB, BC są też liczbami naturalnymi. Oblicz obwód tego trójkąta.

[Jerry]

Wyobraźmy sobie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\frac{a}{2}, \ n\) i przeciwprostokątnej \(12,5\), gdzie \(a, \ n\in\nn\) - fragment globalnego rysunku do zadania. Z tw. Pitagorasa mamy
\(n^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=12,5^2\),
czyli
\(a=\sqrt{625-4n^2}\)
Podstawiając do powyższego wzoru \(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots , 12\), przekonasz się, że liczy się "ładnie" dla dwóch wartości... i to będą odległości środka okręgu od boku i tego boku! Wpasuj to w schludny rysunek i ... sprawdź, czy trzeci bok danego trójkąta też ma naturalną długość

Pozdrawiam