Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

[backtoamsterdam002]

Trójkąt prostokątny ABC jest prostokątny. Jeżeli z wierzchołka tego trójkąta wyprowadzimy prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej ,to ta prostopadła podzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach 1cm i 4cm. Czy na podstawie tych danych można obliczyć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt,jeśli tak ile on wynosi?

[kerajs]

Odcinek prostopadłej zawarty w trójkącie to wysokość trójkąta. Skoro \(h^2=1 \cdot 4\) to wyliczam przyprostokątne ( \(\sqrt{5}\) oraz \(2 \sqrt{5} \)) i promień okręgu wpisanego:
\(r= \frac{P}{ \frac{1}{2}(a+b+c) }\\ r= \frac{ \frac{1}{2} \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{ \frac{1}{2}(\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5) } \\ r= \frac{3\sqrt{5}-5}{4} \)

[backtoamsterdam002]

Odcinek prostopadłej zawarty w trójkącie to wysokość trójkąta. Skoro \(h^2=1 \cdot 4\) to wyliczam przyprostokątne ( \(\sqrt{5}\) oraz \(2 \sqrt{5} \)) i promień okręgu wpisanego:
\(r= \frac{P}{ \frac{1}{2}(a+b+c) }\\ r= \frac{ \frac{1}{2} \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{ \frac{1}{2}(\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5) } \\ r= \frac{3\sqrt{5}-5}{4} \)

A dlaczego h^2 =1×4? Wydaje mi się, że z zadania nie wynika taka informacja.

[kerajs]

To własność wszystkich trójkątów prostokątnych (często wykorzystywana przy konstrukcjach geometrycznych). Oczywiście, można rozwiązywać inaczej, choćby z podobieństwa trójkątów uzyskanych z podziału do dzielonego trójkąta.

PS
Z innej własności trójkątów prostokątnych :
\(b^2=1 \cdot (1+4) \\
a^2=4 \cdot (1+4)
\)