Trójkat

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zwierzaczysko
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 19 mar 2020, 20:27
Podziękowania: 24 razy
Płeć:

Trójkat

Post autor: zwierzaczysko »

Na bokach AC i BC trójkąta ABC zaznaczono odpowiednio punkt D i punkt E tak, że |AD|=2|DC| oraz |CE|:|EB|=1:2. Wiadomo, że |AE|=16, |BD|=12 i |DE| =5. Wykaż, że odcinki AE i BD są do siebie prostopadłe.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Trójkat

Post autor: eresh »

\(|CD|=x\\
|DA|=2x\\
|CE|=y\\
|EB|=2y\\
\)

punkt przecięcia się odcinków AE i BD: S
\(|DS|=u\\
|SB|=12-u\\
|ES|=w\\
|SA|=16-w\\
|AB|=a\)


trójkąty DCE i ABC są podobne (kkk)
\(\frac{x}{5}=\frac{3x}{a}\\
ax=15x\\
a=15\)


trójkąty EDS i ASB są podobne
\(\frac{5}{w}=\frac{15}{16-w}\\
5(16-w)=15w\\
16-w=3w\\
16=4w\\
w=4\)


\(\frac{5}{u}=\frac{15}{12-u}\\
5(12-u_=15u\\
12-u=3u\\
u=3\)


trójkąt DES jest prostokątny, bo \(u^2+w^2=5^2\), zatem \(DB \perp AE\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3464
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Trójkat

Post autor: Jerry »

Zrób schludny rysunek i zauważ:
-) \(\Delta ABC\sim\Delta DEC\ (b,k,b)\), zatem \(|AB|=15\)
-) znajdź taki punkt \(B'\), że czworokąt \(BB'ED\) jest równoległobokiem, w szczególności \(\overline{B'E}\parallel \overline{DB}\), \(|DB'|=12\) oraz \(|BB'|=5\)
-) z \(\Delta AB'E\) i tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa uzyskasz tezę

Pozdrawiam
zwierzaczysko
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 19 mar 2020, 20:27
Podziękowania: 24 razy
Płeć:

Re: Trójkat

Post autor: zwierzaczysko »

eresh pisze: 24 mar 2020, 16:38 \(|CD|=x\\
|DA|=2x\\
|CE|=y\\
|EB|=2y\\
\)

punkt przecięcia się odcinków AE i ED: S
\(|DS|=u\\
|SB|=12-u\\
|ES|=w\\
|SA|=16-w\\
|AB|=a\)


trójkąty DCE i ABC są podobne (kkk)
\(\frac{x}{5}=\frac{3x}{a}\\
ax=15x\\
a=15\)


trójkąty EDS i ASB są podobne
\(\frac{5}{w}=\frac{15}{16-w}\\
5(16-w)=15w\\
16-w=3w\\
16=4w\\
w=4\)


\(\frac{5}{u}=\frac{15}{12-u}\\
5(12-u_=15u\\
12-u=3u\\
u=3\)


trójkąt DES jest prostokątny, bo \(u^2+w^2=5^2\), zatem \(DB \perp AE\)
Ja mam tylko pytanie jak w takim razie wygląda rysunek do tego zadania, ponieważ gdy sobie to rozrysowałem to prosta AE i DE się przecinają tylko w punkcie E
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Trójkat

Post autor: eresh »

zwierzaczysko pisze: 24 mar 2020, 16:53
eresh pisze: 24 mar 2020, 16:38 \(|CD|=x\\
|DA|=2x\\
|CE|=y\\
|EB|=2y\\
\)

punkt przecięcia się odcinków AE i ED: S
Ja mam tylko pytanie jak w takim razie wygląda rysunek do tego zadania, ponieważ gdy sobie to rozrysowałem to prosta AE i DE się przecinają tylko w punkcie E
literówka:
punkt przecięcia się odcinków AE i BD: S
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3464
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Trójkat

Post autor: Jerry »

eresh pisze: 24 mar 2020, 16:38 punkt przecięcia się odcinków AE i ED: S
Bad-click, powinno być BD

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Trójkat

Post autor: eresh »

Jerry pisze: 24 mar 2020, 17:00
eresh pisze: 24 mar 2020, 16:38 punkt przecięcia się odcinków AE i ED: S
Bad-click, powinno być BD

Pozdrawiam
i już nawet jest :D
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ