Dowolny trójkąt

[zwierzaczysko]

Wykaż że w dowolnym trójkącie \(ABC\) zachodzi następująca zależność między bokami \(a,b,c\) a katami \(\alpha,\beta,\gamma\):
\(\frac{a^2-b^2}{c^2}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\gamma}\)

[eresh]

twierdzenie sinusów:
\(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}\So a=\frac{c\sin\alpha}{\sin\gamma}\\
\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\So b=\frac{c\sin\beta}{\sin\gamma}\\
\frac{a^2-b^2}{c^2}=\frac{\frac{c^2\sin^2\alpha}{\sin^2\gamma}-\frac{c^2\sin^2\beta}{\sin^2\gamma}}{c^2}=\\
=\frac{\sin^2\alpha-\sin^2\beta}{\sin^2\gamma}=\frac{(\sin\alpha+\sin\beta)(\sin\alpha-\sin\beta)}{\sin^2\gamma}=\frac{4\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin^2\gamma}=\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)}{\sin\gamma\sin (180^{\circ}-(\alpha+\gamma))}=\\=\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)}{\sin\gamma\sin (\alpha+\gamma)}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\gamma}
\)

[Jerry]

Jesteś pewien zapisanej tezy?

Z wzoru sinusów:
\( \begin{cases} a=2R\sin\alpha\\
b=2R\sin\beta\\
c=2R\sin\gamma\end{cases} \)
\(L_T=\frac{a^2\color{red}{-}b^2}{c^2}=\frac{4R^2\sin^2\alpha-4R^2\sin^2\beta}{4R^2\sin^2\gamma}=\color{green}{*}=\frac{sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)}{sin^2\gamma}=\color{blue}{*}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{sin\gamma}=P_T\)

\(\color{green}{*}\) wzór na różnicę kwadratów sinusów... znany?
\(\color{blue}{*}\) dla kątów trójkąta mamy \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\gamma\)

Pozdrawiam
PS. Okaż nam trochę szacunku i ogarnij kod \(\LaTeX\). Przecież czegoś od nas oczekujesz...