Równoległobok

[maluszeczekdh]

W równoległoboku ABCD bok BC jest dwa razy dłuższy od boku AB. Punkt P jest środkiem boku BC. Uzasadnij, że kąt APD jest kątem prostym

[eresh]

\(|\angle ABP|=\alpha\\
|\angle BCD|=180^{\circ}-\alpha\)

trójkąt ABP jest równoramienny
\(|\angle BPA|=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}\)

trójkąt PCD jest równoramienny
\(|\angle CPD|=\frac{180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)}{2}=\frac{\alpha}{2}\)

\(|\angle BPC|=180^{\circ}\\
|\angle BPA|+|\angle APD|+|\angle CPD|=180^{\circ}\\
\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}+|\angle APD|+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}\\
90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+|\angle APD|+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}\\
|\angle APD|=90^{\circ}\)