Dowodzenie w równoległoboku

[Januszgolenia]

Przekątne AC i BD równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S. Przekątna BD jest prostopadła do boków AD i BC, a kąt BAD jest równy kątowi BSC. Udowodnij, że\( |AB|=|AD|\sqrt{3} \)

[eresh]

\(|AB|=a\\
|AD|=b\\
|AC|=d\\
|BD|=e\\\)

\(\frac{e}{b}=\frac{b}{0,5e}\\
0,5e^2=b^2\\
e=\sqrt{2}b\)

\(\frac{a}{b}=\frac{0,5d}{0,5e}\\
ea=bd\\
\sqrt{2}ba=bd\\
d=\sqrt{2}\)

\(a^2=(0,5d)^2+(0,5e)^2-2\cdot 0,5d\cdot 0,5e\cos (180^{\circ}-\alpha)\\
a^2=0,5a^2+0,5b^2+ab\cos\alpha\\
0,5a^2=0,5b^2+ab\cdot\frac{b}{a}\\
0,5a^2=1,5b^2\\
a^2=3b^2\\
a=b\sqrt{3}\)