Zadanie z planimetrii poziom rozszerzony

[jasiu1234556]

Dany jest trójkąt ABC w którym bok AC ma długość a oraz kąt ACB ma miarę 45. Wyznacz pole tego trójkąta, dla którego bok AB ma najkrótszą długość. Oblicz tę długość.

[panb]

Niech |AB|=y, |BC|=x. Z tw. cosinusów mamy
\(y^2=a^2+x^2-2ax\cos45^\circ=x^2-ax\sqrt2+a^2\)
Ponieważ \(y\ge0\), więc y osiąga minimum wtedy, gdy \(y^2\) jest najmniejsze.
Zachodzi to dla \(x_{min}= \frac{a\sqrt2}{2} \) (współrzędna \(x_{min}\) paraboli) - przy takiej długości boku|BC|, bok AB jest najkrótszy.
Wtedy pole tego trójkąta \(P= \frac{1}{2}a x_{min} \sin45^\circ= \frac{1}{2}a \cdot \frac{a\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt2}{2}= \frac{1}{4}a^2 \)

[panb]

Jeśli potrzebna jest ta najmniejsza długość, to liczymy
\(y^2_{min}=x^2_{min}-ax_{min}\sqrt2+a^2= \frac{1}{2}a^2 -a \cdot \frac{a\sqrt2}{2} \cdot \sqrt2+a^2=\frac{a^2}{2}\)
Stąd \(y_{min}= \frac{a\sqrt2}{2} \)

[pozdrawiam2019]

takie proste zadanie........

[jasiu1234556]

po co takie raniące słowa

[radagast]

To ja spieszę z plasterkiem: ono wcale nie jest proste !