punkt wewnątrz trójkąta

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

punkt wewnątrz trójkąta

Post autor: radagast »

ScreenHunter_838.jpg
ScreenHunter_838.jpg (8.54 KiB) Przejrzano 1095 razy
P jest dowolnym punktem wewnętrznym trójkąta ABC.
Przez punkt P poprowadzono odcinki DE,FG,HI odpowiednio równoległe do boków AB, BC,CA.
Wykaż, że \( \frac{|DE|}{|AB|}+ \frac{|FG|}{|BC|}+ \frac{|HI|}{|AC|}=2 \)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: punkt wewnątrz trójkąta

Post autor: kerajs »

Z podobieństwa trójkątów DEC i ABC mam:
\(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\)
więc:
\(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}=1-\frac{|AD|}{|AC|}=1-\frac{|HP|}{|AC|}\)

Analogicznie z podobieństwa trójkątów AGF i ABC:
\(\frac{|GF|}{|BC|}=\frac{|AF|}{|AC|}=1-\frac{|CF|}{|AC|}=1-\frac{|IP|}{|AC|}\)


Teraz teza:
\(L= \frac{|DE|}{|AB|}+ \frac{|FG|}{|BC|}+ \frac{|HI|}{|AC|}=1-\frac{|HP|}{|AC|}+1-\frac{|IP|}{|AC|}
+ \frac{|HP|+|IP|}{|AC|}=2=P \)

Q.E.D.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: punkt wewnątrz trójkąta

Post autor: radagast »

Kerajs, bardzo dziękuję z to rozwiązanie. Podoba mi się ! Szkoda , ze sama go nie wymyśliłam .
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: punkt wewnątrz trójkąta

Post autor: kerajs »

Proszę bardzo.
Przyznam się, że sądziłem iż teza jest nieprawdziwa.
ODPOWIEDZ