punkt wewnątrz trójkąta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
punkt wewnątrz trójkąta
Przez punkt P poprowadzono odcinki DE,FG,HI odpowiednio równoległe do boków AB, BC,CA.
Wykaż, że \( \frac{|DE|}{|AB|}+ \frac{|FG|}{|BC|}+ \frac{|HI|}{|AC|}=2 \)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: punkt wewnątrz trójkąta
Z podobieństwa trójkątów DEC i ABC mam:
\(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\)
więc:
\(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}=1-\frac{|AD|}{|AC|}=1-\frac{|HP|}{|AC|}\)
Analogicznie z podobieństwa trójkątów AGF i ABC:
\(\frac{|GF|}{|BC|}=\frac{|AF|}{|AC|}=1-\frac{|CF|}{|AC|}=1-\frac{|IP|}{|AC|}\)
Teraz teza:
\(L= \frac{|DE|}{|AB|}+ \frac{|FG|}{|BC|}+ \frac{|HI|}{|AC|}=1-\frac{|HP|}{|AC|}+1-\frac{|IP|}{|AC|}
+ \frac{|HP|+|IP|}{|AC|}=2=P \)
Q.E.D.
\(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\)
więc:
\(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}=1-\frac{|AD|}{|AC|}=1-\frac{|HP|}{|AC|}\)
Analogicznie z podobieństwa trójkątów AGF i ABC:
\(\frac{|GF|}{|BC|}=\frac{|AF|}{|AC|}=1-\frac{|CF|}{|AC|}=1-\frac{|IP|}{|AC|}\)
Teraz teza:
\(L= \frac{|DE|}{|AB|}+ \frac{|FG|}{|BC|}+ \frac{|HI|}{|AC|}=1-\frac{|HP|}{|AC|}+1-\frac{|IP|}{|AC|}
+ \frac{|HP|+|IP|}{|AC|}=2=P \)
Q.E.D.