trójkąt równoramienny uzasadnij

[Ichigo0]

Witam. Proszę o pomoc w zadaniu. Ramię trójkąta równoramiennego jest trzy razy dłuższe od podstawy tego trójkąta. Uzasadnij, że sinus kąta między ramionami trójkąta jest trzy razy mniejszy od sinusa kąta między ramieniem a podstawą. Ja obliczyłam sinus połowy bety( czyli kąta między ramionami ) pomnożyłam przez 2 i policzyłam wysokość trójkąta żeby dostać sinus alfa czyli kąta między podstawą a ramieniem. Nie wiem co robię źle. Może ktoś mi wskazać błąd?

[radagast]

Witam. Proszę o pomoc w zadaniu. Ramię trójkąta równoramiennego jest trzy razy dłuższe od podstawy tego trójkąta. Uzasadnij, że sinus kąta między ramionami trójkąta jest trzy razy mniejszy od sinusa kąta między ramieniem a podstawą. Ja obliczyłam sinus połowy bety( czyli kąta między ramionami ) pomnożyłam przez 2 i policzyłam wysokość trójkąta żeby dostać sinus alfa czyli kąta między podstawą a ramieniem. Nie wiem co robię źle. Może ktoś mi wskazać błąd?

błąd masz na czerwono (\(2\sin \phi \neq \sin 2\phi\))

[Ichigo0]

Nie rozumiem.

[radagast]

ScreenHunter_719.jpg (6.34 KiB) Przejrzano 1555 razy

\(\sin \frac{ \beta }{2} = \frac{1}{6}\)
\(\cos \frac{ \beta }{2} = \frac{ \sqrt{35} }{6}\)
zatem \(\sin \beta =\sin 2 \frac{ \beta }{2} =2\sin \frac{ \beta }{2} \cos \frac{ \beta }{2} =2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{ \sqrt{35} }{6}= \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{35} }{6}= \frac{1}{3}\sin \alpha\)
cbdo

[Ichigo0]

a wysokość nie powinna się równać \(a \sqrt{37}\) już rozumiem.

[Ichigo0]

A może ktoś wyjaśnić łopatologicznie jak zrobić to zadanie korzystając z pól trójkąta?

[radagast]

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta \(\frac{1}{2}\) bok * bok * sin kata miedzy nimi :
\(\frac{1}{2} 6a \cdot 6a \cdot sin \beta = \frac{1}{2} 6a \cdot 2a \cdot sin \alpha\)
stąd \(3 \sin \beta =\sin \alpha\)