trójkąt

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
CarotaMiszczu
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 31
Rejestracja: 26 kwie 2019, 18:17
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

trójkąt

Post autor: CarotaMiszczu » 03 maja 2019, 22:51

W trójkącie ABC: \(|CA| = b, |BA| = c, |BC| = a i a^2 + b^2 = 5c^2\)
Udowodnij, że środkowe AD i BE są prostopadłe.

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13722
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8076 razy
Płeć:

Post autor: eresh » 04 maja 2019, 09:24

O - punkt przecięcia się środkowych
\(|AO|=2y\\
|OD|=y\\
|BO|=2x\\
|OE|=x\\
|\angle AOE|=|\angle BOD|=\alpha\)


twierdzenie cosinusów w trójkącie AOE
\(\frac{1}{4}b^2=x^2+4y^2-4xy\cos\alpha\)

twierdzenie cosinusów w trójkącie BOD
\(\frac{1}{4}a^2=y^2+4x^2-4xy\cos\alpha\)

twierdzenie cosinusów w trójkącie AOB
\(c^2=4x^2+4y^2+8xy\cos\alpha\)

\(a^2+b^2=5c^2\\
4x^2+16y^2-16xy\cos\alpha+4y^2+16x^2-16xy\cos\alpha=20x^2+20y^2+40xy\cos\alpha\\
-32\cos\alpha = 40\cos\alpha\\
\cos\alpha = 0\\
\alpha = 90^{\circ}\)