Stosunki boków

[CarotaMiszczu]

Dany jest trójkąt ABC, w którym stosunki długości boków wynoszą |BC|:|AC|=2:3 oraz |BC|:|AB|=1:2. Na boku AB zaznaczono punkt D w taki sposób, że |BC|:|CD|=4:3. Wyznacz |BC|:|AC|.

[Scino]

[...]stosunki długości boków wynoszą |BC|:|AC|=2:3 [...] Wyznacz |BC|:|AC|.

Na pewno jest poprawna treść?

[panb]

na pewno niepoprawna! Po co byłby punkt D?

[Scino]

może dla zmyłki

[CarotaMiszczu]

ups pomyłka miało być wyznacz |AD|:|BD|

[Scino]

Może nie jest to najszybszy sposób, ale skorzystaj z twierdzenia cosinusów żeby wyliczyć cosinus kąta przy wierzchołku \(A\) (długości boków to \(AB=8a,BC=4a,CA=6a,CD=3a\)), a następnie po raz drugi skorzystaj z twierdzenia cosinusów tym razem w trójkącie \(ADC\), dzięki temu wyliczysz \(AD\) i będziesz mógł wyznaczyć stosunek.

[CarotaMiszczu]

nie do końca mi to wychodzi, możesz to rozwiązać?

[Scino]

Okej najpierw wyliczmy cosinus kąta \(A\):
\(16a^2=64a^2+36a^2- 2 \cdot 6a \cdot 8a \cdot \cos\alpha \iff \cos\alpha = \frac{7}{8}\)
Następnie znowu twierdzenie cosinusów, tym razem dla trójkąta \(ADC\):
\(9a^2=36a^2+x^2-2 \cdot 6a \cdot x \cdot \frac{7}{8}\)
I dostajemy równanie kwadratowe z niewiadomą \(x\) i parametrem \(a\)
\(x^2- \frac{21}{2}ax+27a^2=0\)
\(\sqrt{\Delta}= \frac{3}{2}a \So x\in \left\{ 6a; \frac{9}{2}a \right\}\)
Stosunek to \(3:1\) lub \(9:7\)

[CarotaMiszczu]

Dzięki wielkie