Dowód trygonometryczny z trojkątem

[rododenron]

Wykaż, że jeżeli a i b są dlugościami boków trojkąta o polu P leżących odpowiednio naprzeciw kątów \(\alpha\) i \(\beta\), to \(a^2 - b^2=\frac{2P}{\tg b - \tg a}\)

[eresh]

Wykaż, że jeżeli a i b są dlugościami boków trojkąta o polu P leżących odpowiednio naprzeciw kątów \(\alpha\) i \(\beta\), to \(a^2 - b^2=\frac{2P}{\tg b - \tg a}\)

to twierdzenie nie jest prawdziwe, sprawdź na przykład dla trójkąta prostokątnego 3,4,5

[eresh]

Wykaż, że jeżeli a i b są dlugościami boków trojkąta o polu P leżących odpowiednio naprzeciw kątów \(\alpha\) i \(\beta\), to \(a^2 - b^2=\frac{2P}{\tg b - \tg a}\)

jeśli miało to wygladać tak:
\(a^2 - b^2=2P\cdot(\frac{1}{\tg \beta} -\frac{1}{ \tg \alpha})\)

R - promień okręgu opisanego na trójkącie
\(c=2R\sin(\alpha+\beta)\\
a=2R\sin\alpha\\
b=2R\sin\beta\\
P=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)\\
2R^2\sin(\alpha+\beta)=\frac{P}{\sin\alpha\sin\beta}\)

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\
a^2-b^2=b^2-a^2-2bc\cos\alpha+2ac\cos\beta\\
2a^2-2b^2=2c(a\cos\beta-b\cos\alpha)\\
a^2-b^2=2R\sin(\alpha+\beta)(2R\sin\alpha\cos\beta-2R\sin\beta\cos\alpha)\\
a^2-b^2=4R^2\sin(\alpha+\beta)(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)\\
a^2-b^2=2\cdot\frac{P}{\sin\alpha\sin\beta}(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)\\
a^2-b^2=2P(\frac{1}{\tg\beta}-\frac{1}{\tg\alpha})\)

[rododenron]

Dziękuję! Rzeczywiscie, zadanie było z listy pisanej ręcznie, więc ktoś pewnie pomylił się przy przepisywaniu i mogłabym jeszcze długo próbować